.. [WikipediaMO] Wikipedia, *Mathematical optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization
+.. [WikipediaND] Wikipedia, *Nondimensionalization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Nondimensionalization
+
.. [WikipediaPSO] Wikipedia, *Particle swarm optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_swarm_optimization
.. [WikipediaQR] Wikipedia, *Quantile regression*, https://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_regression
In such a case with explicit control, only the second functional form (using
"*ScriptWithFunctions*") and third functional form (using "*ScriptWithSwitch*")
can be used.
+
+Additional notes on nondimensionalization of operators
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+.. index:: single: Nondimensionalization
+.. index:: single: Dimensionless
+
+It is common that physical quantities, in input or output of the operators, have
+significant differences in magnitude or rate of change. One way to avoid
+numerical difficulties is to use, or to set, a nondimensionalization of the
+calculations carried out in operators [WikipediaND]_. In principle, since
+physical simulation should be as dimensionless as possible, it is firstly
+recommended to use the existing capacity of nondimensionalization of the
+calculation code.
+
+However, in the common case where we can not dispose of it, it is often useful
+to surround the calculation to remove dimension for input or output. A simple
+way to do this is to convert the input parameters :math:`\mathbf{x}` which are
+arguments of a function like "*DirectOperator*". One mostly use the default
+values :math:`\mathbf{x}^b` (background, or nominal value). Provided that each
+component of :math:`\mathbf{x}^b` is non zero, one can indeed put:
+
+.. math:: \mathbf{x} = \mathbf{\alpha}\mathbf{x}^b
+
+and then optimize the multiplicative parameter :math:`\mathbf{\alpha}`. This
+parameter has as default value (or as background) a vector of 1. Be careful,
+applying a process of nondimensionalization also requires changing the error
+covariances associated in an ADAO formulation of the optimization problem.
+
+Such a process is rarely enough to avoid all the numerical problems, but it
+often improves a lot the numeric conditioning of the optimization.
.. [Tikhonov77] Tikhonov A. N., Arsenin V. Y., *Solution of Ill-posed Problems*, Winston & Sons, 1977
-.. [WikipediaDA] Wikipedia, *Data assimilation*, http://en.wikipedia.org/wiki/Data_assimilation
+.. [WikipediaDA] Wikipédia, *Data assimilation*, http://en.wikipedia.org/wiki/Data_assimilation
-.. [WikipediaMO] Wikipedia, *Mathematical optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization
+.. [WikipediaMO] Wikipédia, *Mathematical optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization
-.. [WikipediaPSO] Wikipedia, *Particle swarm optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_swarm_optimization
+.. [WikipediaND] Wikipédia, *Nondimensionalization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Nondimensionalization
-.. [WikipediaQR] Wikipedia, *Quantile regression*, https://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_regression
+.. [WikipediaPSO] Wikipédia, *Particle swarm optimization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_swarm_optimization
-.. [WikipediaTI] Wikipedia, *Tikhonov regularization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Tikhonov_regularization
+.. [WikipediaQR] Wikipédia, *Quantile regression*, https://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_regression
-.. [WikipediaUKF] Wikipedia, *Unscented Kalman filter*, https://en.wikipedia.org/wiki/Unscented_Kalman_filter
+.. [WikipediaTI] Wikipédia, *Tikhonov regularization*, https://en.wikipedia.org/wiki/Tikhonov_regularization
+
+.. [WikipediaUKF] Wikipédia, *Unscented Kalman filter*, https://en.wikipedia.org/wiki/Unscented_Kalman_filter
.. [Zhu97] Zhu C., Byrd R. H., Nocedal J., *L-BFGS-B: Algorithm 778: L-BFGS-B, FORTRAN routines for large scale bound constrained optimization*, ACM Transactions on Mathematical Software, 23(4), pp.550-560, 1997
+
+*Nota Bene* : un lien vers la version française de chaque page Wikipédia se
+trouve dans le sous-menu "*Languages*". Les deux versions sont complémentaires
+car, même si souvent le contenu en anglais est plus fourni, les informations
+disponibles dans chaque langue ne sont pas toujours identiques.
à :math:`\mathbf{x}`. Dans un tel cas de contrôle explicite, seule la deuxième
forme fonctionnelle (en utilisant "*ScriptWithFunctions*") et la troisième forme
fonctionnelle (en utilisant "*ScriptWithSwitch*") peuvent être utilisées.
+
+Remarques complémentaires sur l'adimensionnement des opérateurs
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+
+.. index:: single: Adimensionnement
+.. index:: single: Sans dimension
+
+Il est fréquent que les grandeurs physiques, en entrée ou en sortie des
+opérateurs, présentent des différences notables d'ordre de grandeur ou de taux
+de variation. Une manière d'éviter des difficultés numériques est d'utiliser, ou
+d'établir, un adimensionnement des calculs menés dans les opérateurs
+[WikipediaND]_. Par principe, dans la mesure où la simulation de la physique
+devrait être la plus adimensionnée possible, il est en premier lieu recommandé
+d'utiliser les capacités existantes d'adimensionnement du code de calcul.
+
+Néanmoins, dans le cas courant où l'on ne peut en disposer, il est souvent utile
+d'environner le calcul pour l'adimensionner en entrée ou en sortie. Une manière
+simple de faire cela en entrée consiste à transformer les paramètres
+:math:`\mathbf{x}` en argument d'une fonction comme "*DirectOperator*". On
+utilise le plus souvent les valeurs par défaut :math:`\mathbf{x}^b` (ébauche, ou
+valeur nominale). Pourvu que chaque composante de :math:`\mathbf{x}^b` soit non
+nulle, on peut en effet poser:
+
+.. math:: \mathbf{x} = \mathbf{\alpha}\mathbf{x}^b
+
+et optimiser ensuite le paramètre multiplicatif :math:`\mathbf{\alpha}`. Ce
+paramètre a pour valeur par défaut (ou pour ébauche) un vecteur de 1. Attention,
+l'application d'une démarche d'adimensionnement nécessite aussi la modification
+des covariances d'erreurs associées dans la formulation ADAO du problème
+d'optimisation.
+
+Une telle démarche suffit rarement à éviter tous les problèmes numériques, mais
+permet souvent d'améliorer beaucoup le conditionnement numérique de
+l'optimisation.
