..
- Copyright (C) 2008-2014 EDF R&D
+ Copyright (C) 2008-2017 EDF R&D
This file is part of SALOME ADAO module.
d'un système, qui sont les observations, avec une connaissance physique et
mathématique *a priori* du système, intégrée dans les modèles numériques, afin
d'obtenir la meilleure estimation possible de l'état réel du système et de ses
-propriétés stochastiques. On note que cet état réel (ou "état" vrai") ne peut
+propriétés stochastiques. On note que cet état réel (ou "*état vrai*") ne peut
être atteint, mais peut seulement être estimé. De plus, malgré le fait que les
informations utilisées sont stochastiques par nature, l'assimilation de données
fournit des techniques déterministes afin de réaliser l'estimation de manière
L'assimilation de données cherchant l'estimation la **meilleure possible**, la
démarche technique sous-jacente intègre toujours de l'optimisation afin de
trouver cette estimation : des méthodes d'optimisation choisies sont toujours
-intégrés dans les algorithmes d'assimilation de données. Par ailleurs, les
+intégrées dans les algorithmes d'assimilation de données. Par ailleurs, les
méthodes d'optimisation peuvent être vues dans ADAO comme un moyen d'étendre les
applications d'assimilation de données. Elles seront présentées de cette façon
dans la section pour `Approfondir l'estimation d'état par des méthodes
physiques et une estimation *a priori* des paramètres (appelée l'"*ébauche*")
d'état que l'on cherche à identifier, ainsi qu'une caractérisation de leurs
erreurs. De ce point de vue, cette démarche utilise toutes les informations
-disponibles sur le système physique (même si les hypothèses sur les erreurs sont
-relativement restrictives) pour trouver l'"*estimation optimale*" de l'état
+disponibles sur le système physique, avec des hypothèses restrictives mais
+réalistes sur les erreurs, pour trouver l'"*estimation optimale*" de l'état
vrai. On peut noter, en termes d'optimisation, que l'ébauche réalise la
-"*régularisation*", au sens mathématique, du problème principal d'identification
-de paramètres. On peut aussi désigner cette démarche comme une résolution de
-type "*problèmes inverses*".
+"*régularisation*", au sens mathématique de Tikhonov [Tikhonov77]_
+[WikipediaTI]_, du problème principal d'identification de paramètres. On peut
+aussi désigner cette démarche comme une résolution de type "*problème inverse*".
-En pratique, les deux écarts (ou incréments) observés "*calculs-ébauche*" et
-"*calculs-mesures*" sont combinés pour construire la correction de calibration
+En pratique, les deux écarts (ou incréments) observés "*calculs-mesures*" et
+"*calculs-ébauche*" sont combinés pour construire la correction de calibration
des paramètres ou des conditions initiales. L'ajout de ces deux incréments
requiert une pondération relative, qui est choisie pour refléter la confiance
que l'on donne à chaque information utilisée. Cette confiance est représentée
par la covariance des erreurs sur l'ébauche et sur les observations. Ainsi
-l'aspect stochastique des informations, mesuré *a priori*, est essentiel pour
-construire une fonction d'erreur pour la calibration.
+l'aspect stochastique des informations est essentiel pour construire une
+fonction d'erreur pour la calibration.
Un exemple simple d'identification de paramètres provient de tout type de
simulation physique impliquant un modèle paramétré. Par exemple, une simulation
.. index:: single: covariances d'erreurs d'ébauche
.. index:: single: covariances d'erreurs d'observation
.. index:: single: covariances
+.. index:: single: 3DVAR
+.. index:: single: Blue
On peut décrire ces démarches de manière simple. Par défaut, toutes les
-variables sont des vecteurs, puisqu'il y a plusieurs paramètres à ajuster.
+variables sont des vecteurs, puisqu'il y a plusieurs paramètres à ajuster, ou un
+champ discrétisé à reconstruire.
-Selon les notations standard en assimilation de données, on note
+Selon les notations standards en assimilation de données, on note
:math:`\mathbf{x}^a` les paramètres optimaux qui doivent être déterminés par
calibration, :math:`\mathbf{y}^o` les observations (ou les mesures
expérimentales) auxquelles on doit comparer les sorties de simulation,
sont aussi celles de la simulation. On peut toujours considérer que ces erreurs
sont de moyenne nulle. En notant :math:`E[.]` l'espérance mathématique
classique, on peut alors définir une matrice :math:`\mathbf{R}` des covariances
-d'erreurs d'observation par :
+d'erreurs d'observation par l'expression :
.. math:: \mathbf{R} = E[\mathbf{\epsilon}^o.{\mathbf{\epsilon}^o}^T]
-L'ébauche peut aussi être écrite comme une fonction de la valeur vraie, en
-introduisant le vecteur d'erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` tel que :
+L'ébauche peut aussi être écrite formellement comme une fonction de la valeur
+vraie, en introduisant le vecteur d'erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` tel que
+:
.. math:: \mathbf{x}^b = \mathbf{x}^t + \mathbf{\epsilon}^b
-où les erreurs sont aussi supposées de moyenne nulle, de la même manière que
-pour les observations. On définit la matrice :math:`\mathbf{B}` des covariances
-d'erreurs d'ébauche par :
+Les erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` sont aussi supposées de moyenne nulle,
+de la même manière que pour les observations. On définit la matrice
+:math:`\mathbf{B}` des covariances d'erreurs d'ébauche par :
.. math:: \mathbf{B} = E[\mathbf{\epsilon}^b.{\mathbf{\epsilon}^b}^T]
L'estimation optimale des paramètres vrais :math:`\mathbf{x}^t`, étant donné
l'ébauche :math:`\mathbf{x}^b` et les observations :math:`\mathbf{y}^o`, est
-ainsi l'"*analyse*" :math:`\mathbf{x}^a` et provient de la minimisation d'une
-fonction d'erreur (en assimilation variationnelle) ou d'une correction de
-filtrage (en assimilation par filtrage).
+ainsi "l'*analyse*" :math:`\mathbf{x}^a` et provient de la minimisation d'une
+fonction d'erreur, explicite en assimilation variationnelle, ou d'une correction
+de filtrage en assimilation par filtrage.
En **assimilation variationnelle**, dans un cas statique, on cherche
classiquement à minimiser la fonction :math:`J` suivante :
-.. math:: J(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})
+.. math:: J(\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+\frac{1}{2}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})
-qui est usuellement désignée comme la fonctionnelle "*3D-VAR*" (voir par exemple
-[Talagrand97]_). Comme les matrices de covariance :math:`\mathbf{B}` et
-:math:`\mathbf{R}` sont proportionnelles aux variances d'erreurs, leur présence
-dans les deux termes de la fonctionnelle :math:`J` permet effectivement de
-pondérer les différences par la confiance dans les erreurs d'ébauche ou
+:math:`J` est classiquement désignée comme la fonctionnelle "*3D-VAR*" en
+assimilation de données (voir par exemple [Talagrand97]_) ou comme la
+fonctionnelle de régularisation de Tikhonov généralisée en optimisation (voir
+par exemple [WikipediaTI]_). Comme les matrices de covariance :math:`\mathbf{B}`
+et :math:`\mathbf{R}` sont proportionnelles aux variances d'erreurs, leur
+présence dans les deux termes de la fonctionnelle :math:`J` permet effectivement
+de pondérer les termes d'écarts par la confiance dans les erreurs d'ébauche ou
d'observations. Le vecteur :math:`\mathbf{x}` des paramètres réalisant le
minimum de cette fonction constitue ainsi l'analyse :math:`\mathbf{x}^a`. C'est
à ce niveau que l'on doit utiliser toute la panoplie des méthodes de
[Talagrand97]_ ou [Argaud09]_, des supports de formations ou de cours comme
[Bouttier99]_ et [Bocquet04]_ (ainsi que d'autres documents issus des
applications des géosciences), ou des documents généraux comme [Talagrand97]_,
-[Tarantola87]_, [Kalnay03]_, [Ide97]_ et [WikipediaDA]_.
+[Tarantola87]_, [Kalnay03]_, [Ide97]_, [Tikhonov77]_ et [WikipediaDA]_.
On note que l'assimilation de données n'est pas limitée à la météorologie ou aux
géo-sciences, mais est largement utilisée dans d'autres domaines scientifiques.
de régularisation utilisant :math:`\mathbf{x}-\mathbf{x}^b`, et en pondérant les
différences par les deux matrices de covariances :math:`\mathbf{B}` et
:math:`\mathbf{R}`. La minimisation de la fonctionnelle :math:`J` conduit à la
-*meilleure* estimation de l'état :math:`\mathbf{x}`.
+*meilleure* estimation de l'état :math:`\mathbf{x}`. Pour obtenir plus
+d'informations sur ces notions, on se reportera aux ouvrages généraux de
+référence comme [Tarantola87]_.
Les possibilités d'extension de cette estimation d'état, en utilisant de manière
plus explicite des méthodes d'optimisation et leurs propriétés, peuvent être
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
convergence en temps fini. Ici, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : la *régression de quantile (Quantile
-Regression)* [WikipediaQR]_ and l'*optimisation par essaim de particules
+Regression)* [WikipediaQR]_ et l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.
En second lieu, les méthodes d'optimisation cherchent usuellement à minimiser
méta-heuristiques pour les problèmes à valeurs réelles, etc. Comme précédemment,
le principal désavantage de ces méthodes est un coût numérique souvent bien
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
-convergence en temps fini. Ici, on ne mentionne encore que des méthodes qui sont
+convergence en temps fini. Ici encore, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.
