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+ Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
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+
+ Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D
+
.. _section_theory:
-================================================================================
-Une brève introduction à l'Assimilation de Données et à l'Optimisation
-================================================================================
+=================================================================================
+**[DocT]** Une brève introduction à l'Assimilation de Données et à l'Optimisation
+=================================================================================
.. index:: single: Data Assimilation
-.. index:: single: Assimilation de données
+.. index:: single: assimilation de données
.. index:: single: état vrai
.. index:: single: observation
.. index:: single: a priori
d'un système, qui sont les observations, avec une connaissance physique et
mathématique *a priori* du système, intégrée dans les modèles numériques, afin
d'obtenir la meilleure estimation possible de l'état réel du système et de ses
-propriétés stochastiques. On note que cet état réel (ou "état" vrai") ne peut
+propriétés stochastiques. On note que cet état réel (ou "*état vrai*") ne peut
être atteint, mais peut seulement être estimé. De plus, malgré le fait que les
informations utilisées sont stochastiques par nature, l'assimilation de données
fournit des techniques déterministes afin de réaliser l'estimation de manière
L'assimilation de données cherchant l'estimation la **meilleure possible**, la
démarche technique sous-jacente intègre toujours de l'optimisation afin de
trouver cette estimation : des méthodes d'optimisation choisies sont toujours
-intégrés dans les algorithmes d'assimilation de données. Par ailleurs, les
+intégrées dans les algorithmes d'assimilation de données. Par ailleurs, les
méthodes d'optimisation peuvent être vues dans ADAO comme un moyen d'étendre les
applications d'assimilation de données. Elles seront présentées de cette façon
dans la section pour `Approfondir l'estimation d'état par des méthodes
d'optimisation`_, mais elles sont beaucoup plus générale et peuvent être
utilisés sans les concepts d'assimilation de données.
-Deux types principaux d'applications existent en l'assimilation des données, qui
-sont couvert par le même formalisme : l'**identification de paramètres** et la
+Deux types principaux d'applications existent en assimilation de données, qui
+sont couverts par le même formalisme : l'**identification de paramètres** et la
**reconstruction de champs**. Avant d'introduire la `Description simple du cadre
méthodologique de l'assimilation de données`_ dans une prochaine section, nous
décrivons brièvement ces deux types d'applications. A la fin de ce chapitre,
quelques références permettent d'`Approfondir le cadre méthodologique de
l'assimilation de données`_ et d'`Approfondir l'estimation d'état par des
méthodes d'optimisation`_.
-
+
Reconstruction de champs ou interpolation de données
----------------------------------------------------
.. index:: single: reconstruction de champs
.. index:: single: interpolation de données
+.. index:: single: interpolation de champs
-La reconstruction de champs consiste à trouver, à partir d'un nombre restreint
-de mesures réelles, le champs physique qui est le plus *consistant* avec ces
-mesures.
+La **reconstruction (ou l'interpolation) de champs** consiste à trouver, à
+partir d'un nombre restreint de mesures réelles, le champs physique qui est le
+plus *cohérent* avec ces mesures.
-La consistance est à comprendre en termes d'interpolation, c'est-à-dire que le
+La *cohérence* est à comprendre en termes d'interpolation, c'est-à-dire que le
champ que l'on cherche à reconstruire, en utilisant de l'assimilation de données
sur les mesures, doit s'adapter au mieux aux mesures, tout en restant contraint
par la simulation globale du champ. Le champ calculé est donc une estimation *a
l'atmosphère, qui indiquent par exemple que la pression en un point ne peut pas
prendre une valeur quelconque indépendamment de la valeur au même point à un
temps précédent. On doit donc faire la reconstruction d'un champ en tout point
-de l'espace, de manière "consistante" avec les équations d'évolution et avec les
+de l'espace, de manière "cohérente" avec les équations d'évolution et avec les
mesures aux précédents pas de temps.
Identification de paramètres, ajustement de modèles, calibration
----------------------------------------------------------------
.. index:: single: identification de paramètres
+.. index:: single: ajustement de paramètres
.. index:: single: ajustement de modèles
.. index:: single: calibration
.. index:: single: ébauche
.. index:: single: régularisation
+.. index:: single: problèmes inverses
-L'identification de paramètres par assimilation de données est une forme de
-calibration d'état qui utilise simultanément les mesures physiques et une
-estimation *a priori* des paramètres (appelée l'"*ébauche*") d'état que l'on
-cherche à identifier, ainsi qu'une caractérisation de leurs erreurs. De ce point
-de vue, cette démarche utilise toutes les informations disponibles sur le
-système physique (même si les hypothèses sur les erreurs sont relativement
-restrictives) pour trouver l'"*estimation optimale*" de l'état vrai. On peut
-noter, en termes d'optimisation, que l'ébauche réalise la régularisation
-mathématique du problème principal d'identification de paramètres.
-
-En pratique, les deux incrément observés "*calculs-ébauche*" et
-"*calculs-mesures*" sont combinés pour construire la correction de calibration
+L'**identification (ou l'ajustement) de paramètres** par assimilation de données
+est une forme de calibration d'état qui utilise simultanément les mesures
+physiques et une estimation *a priori* des paramètres (appelée l'"*ébauche*")
+d'état que l'on cherche à identifier, ainsi qu'une caractérisation de leurs
+erreurs. De ce point de vue, cette démarche utilise toutes les informations
+disponibles sur le système physique, avec des hypothèses restrictives mais
+réalistes sur les erreurs, pour trouver l'"*estimation optimale*" de l'état
+vrai. On peut noter, en termes d'optimisation, que l'ébauche réalise la
+"*régularisation*", au sens mathématique de Tikhonov [Tikhonov77]_
+[WikipediaTI]_, du problème principal d'identification de paramètres. On peut
+aussi désigner cette démarche comme une résolution de type "*problème inverse*".
+
+En pratique, les deux écarts (ou incréments) observés "*calculs-mesures*" et
+"*calculs-ébauche*" sont combinés pour construire la correction de calibration
des paramètres ou des conditions initiales. L'ajout de ces deux incréments
requiert une pondération relative, qui est choisie pour refléter la confiance
que l'on donne à chaque information utilisée. Cette confiance est représentée
par la covariance des erreurs sur l'ébauche et sur les observations. Ainsi
-l'aspect stochastique des informations, mesuré *a priori*, est essentiel pour
-construire une fonction d'erreur pour la calibration.
+l'aspect stochastique des informations est essentiel pour construire une
+fonction d'erreur pour la calibration.
Un exemple simple d'identification de paramètres provient de tout type de
simulation physique impliquant un modèle paramétré. Par exemple, une simulation
.. index:: single: covariances d'erreurs d'ébauche
.. index:: single: covariances d'erreurs d'observation
.. index:: single: covariances
+.. index:: single: 3DVAR
+.. index:: single: Blue
On peut décrire ces démarches de manière simple. Par défaut, toutes les
-variables sont des vecteurs, puisqu'il y a plusieurs paramètres à ajuster.
+variables sont des vecteurs, puisqu'il y a plusieurs paramètres à ajuster, ou un
+champ discrétisé à reconstruire.
-Selon les notations standard en assimilation de données, on note
+Selon les notations standards en assimilation de données, on note
:math:`\mathbf{x}^a` les paramètres optimaux qui doivent être déterminés par
calibration, :math:`\mathbf{y}^o` les observations (ou les mesures
expérimentales) auxquelles on doit comparer les sorties de simulation,
Dans le cas le plus simple, qui est statique, les étapes de simulation et
d'observation peuvent être combinées en un unique opérateur d'observation noté
-:math:`H` (linéaire ou non-linéaire). Il transforme les paramètres
-:math:`\mathbf{x}` en entrée en résultats :math:`\mathbf{y}` qui peuvent être
-directement comparés aux observations :math:`\mathbf{y}^o`. De plus, on utilise
-l'opérateur linéarisé :math:`\mathbf{H}` pour représenter l'effet de l'opérateur
-complet :math:`H` autour d'un point de linéarisation (et on omettra ensuite de
-mentionner :math:`H` même si l'on peut le conserver). En réalité, on a déjà
-indiqué que la nature stochastique des variables est essentielle, provenant du
-fait que le modèle, l'ébauche et les observations sont tous incorrects. On
-introduit donc des erreurs d'observations additives, sous la forme d'un vecteur
-aléatoire :math:`\mathbf{\epsilon}^o` tel que :
+:math:`H` (linéaire ou non-linéaire). Il transforme formellement les paramètres
+:math:`\mathbf{x}` en entrée en résultats :math:`\mathbf{y}`, qui peuvent être
+directement comparés aux observations :math:`\mathbf{y}^o` :
+
+.. math:: \mathbf{y} = H(\mathbf{x})
+
+De plus, on utilise l'opérateur linéarisé :math:`\mathbf{H}` pour représenter
+l'effet de l'opérateur complet :math:`H` autour d'un point de linéarisation (et
+on omettra ensuite de mentionner :math:`H` même si l'on peut le conserver). En
+réalité, on a déjà indiqué que la nature stochastique des variables est
+essentielle, provenant du fait que le modèle, l'ébauche et les observations sont
+tous incorrects. On introduit donc des erreurs d'observations additives, sous la
+forme d'un vecteur aléatoire :math:`\mathbf{\epsilon}^o` tel que :
.. math:: \mathbf{y}^o = \mathbf{H} \mathbf{x}^t + \mathbf{\epsilon}^o
Les erreurs représentées ici ne sont pas uniquement celles des observations, ce
sont aussi celles de la simulation. On peut toujours considérer que ces erreurs
-sont de moyenne nulle. On peut alors définir une matrice :math:`\mathbf{R}` des
-covariances d'erreurs d'observation par :
+sont de moyenne nulle. En notant :math:`E[.]` l'espérance mathématique
+classique, on peut alors définir une matrice :math:`\mathbf{R}` des covariances
+d'erreurs d'observation par l'expression :
.. math:: \mathbf{R} = E[\mathbf{\epsilon}^o.{\mathbf{\epsilon}^o}^T]
-L'ébauche peut aussi être écrite comme une fonction de la valeur vraie, en
-introduisant le vecteur d'erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` tel que :
+L'ébauche peut aussi être écrite formellement comme une fonction de la valeur
+vraie, en introduisant le vecteur d'erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` tel que
+:
.. math:: \mathbf{x}^b = \mathbf{x}^t + \mathbf{\epsilon}^b
-où les erreurs sont aussi supposées de moyenne nulle, de la même manière que
-pour les observations. On définit la matrice :math:`\mathbf{B}` des covariances
-d'erreurs d'ébauche par :
+Les erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` sont aussi supposées de moyenne nulle,
+de la même manière que pour les observations. On définit la matrice
+:math:`\mathbf{B}` des covariances d'erreurs d'ébauche par :
.. math:: \mathbf{B} = E[\mathbf{\epsilon}^b.{\mathbf{\epsilon}^b}^T]
L'estimation optimale des paramètres vrais :math:`\mathbf{x}^t`, étant donné
l'ébauche :math:`\mathbf{x}^b` et les observations :math:`\mathbf{y}^o`, est
-ainsi l'"*analyse*" :math:`\mathbf{x}^a` et provient de la minimisation d'une
-fonction d'erreur (en assimilation variationnelle) ou d'une correction de
-filtrage (en assimilation par filtrage).
+ainsi "l'*analyse*" :math:`\mathbf{x}^a` et provient de la minimisation d'une
+fonction d'erreur, explicite en assimilation variationnelle, ou d'une correction
+de filtrage en assimilation par filtrage.
En **assimilation variationnelle**, dans un cas statique, on cherche
classiquement à minimiser la fonction :math:`J` suivante :
-.. math:: J(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})
-
-qui est usuellement désignée comme la fonctionnelle "*3D-VAR*". Comme les
-matrices de covariance :math:`\mathbf{B}` et :math:`\mathbf{R}` sont
-proportionnelles aux variances d'erreurs, leur présente dans les deux termes de
-la fonctionnelle :math:`J` permet effectivement de pondérer les différences par
-la confiance dans les erreurs d'ébauche ou d'observations. Le vecteur
-:math:`\mathbf{x}` des paramètres réalisant le minimum de cette fonction
-constitue ainsi l'analyse :math:`\mathbf{x}^a`. C'est à ce niveau que l'on doit
-utiliser tout la panoplie des méthodes de minimisation de fonctions connues par
-ailleurs en optimisation (voir aussi la section `Approfondir l'estimation d'état
-par des méthodes d'optimisation`_). Selon la taille du vecteur
-:math:`\mathbf{x}` des paramètres à identifier, et la disponibilité du gradient
-ou de la hessienne de :math:`J`, il est judicieux d'adapter la méthode
-d'optimisation choisie (gradient, Newton, quasi-Newton...).
+.. math:: J(\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+\frac{1}{2}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})
+
+:math:`J` est classiquement désignée comme la fonctionnelle "*3D-VAR*" en
+assimilation de données (voir par exemple [Talagrand97]_) ou comme la
+fonctionnelle de régularisation de Tikhonov généralisée en optimisation (voir
+par exemple [WikipediaTI]_). Comme les matrices de covariance :math:`\mathbf{B}`
+et :math:`\mathbf{R}` sont proportionnelles aux variances d'erreurs, leur
+présence dans les deux termes de la fonctionnelle :math:`J` permet effectivement
+de pondérer les termes d'écarts par la confiance dans les erreurs d'ébauche ou
+d'observations. Le vecteur :math:`\mathbf{x}` des paramètres réalisant le
+minimum de cette fonction constitue ainsi l'analyse :math:`\mathbf{x}^a`. C'est
+à ce niveau que l'on doit utiliser toute la panoplie des méthodes de
+minimisation de fonctions connues par ailleurs en optimisation (voir aussi la
+section `Approfondir l'estimation d'état par des méthodes d'optimisation`_).
+Selon la taille du vecteur :math:`\mathbf{x}` des paramètres à identifier, et la
+disponibilité du gradient ou de la hessienne de :math:`J`, il est judicieux
+d'adapter la méthode d'optimisation choisie (gradient, Newton, quasi-Newton...).
En **assimilation par filtrage**, dans ce cas simple usuellement dénommé
"*BLUE*" (pour "*Best Linear Unbiased Estimator*"), l'analyse
matrice *a posteriori* de covariance d'analyse.
Dans ce cas statique simple, on peut montrer, sous une hypothèse de
-distributions gaussiennes d'erreurs, que les deux approches *variationnelle* et
-*de filtrage* sont équivalentes.
+distributions gaussiennes d'erreurs (très peu restrictive en pratique), que les
+deux approches *variationnelle* et *de filtrage* donnent la même solution.
On indique que ces méthodes de "*3D-VAR*" et de "*BLUE*" peuvent être étendues à
des problèmes dynamiques, sous les noms respectifs de "*4D-VAR*" et de "*filtre
.. index:: single: méthodes de lissage
Pour obtenir de plus amples informations sur les techniques d'assimilation de
-données, le lecteur pour consulter les documents introductifs comme [Argaud09]_,
-des supports de formations ou de cours comme [Bouttier99]_ et [Bocquet04]_
-(ainsi que d'autres documents issus des applications des géosciences), ou des
-documents généraux comme [Talagrand97]_, [Tarantola87]_, [Kalnay03]_, [Ide97]_
-et [WikipediaDA]_.
+données, le lecteur peut consulter les documents introductifs comme
+[Talagrand97]_ ou [Argaud09]_, des supports de formations ou de cours comme
+[Bouttier99]_ et [Bocquet04]_ (ainsi que d'autres documents issus des
+applications des géosciences), ou des documents généraux comme [Talagrand97]_,
+[Tarantola87]_, [Kalnay03]_, [Ide97]_, [Tikhonov77]_ et [WikipediaDA]_.
On note que l'assimilation de données n'est pas limitée à la météorologie ou aux
géo-sciences, mais est largement utilisée dans d'autres domaines scientifiques.
de régularisation utilisant :math:`\mathbf{x}-\mathbf{x}^b`, et en pondérant les
différences par les deux matrices de covariances :math:`\mathbf{B}` et
:math:`\mathbf{R}`. La minimisation de la fonctionnelle :math:`J` conduit à la
-*meilleure* estimation de l'état `\mathbf{x}`.
+*meilleure* estimation de l'état :math:`\mathbf{x}`. Pour obtenir plus
+d'informations sur ces notions, on se reportera aux ouvrages généraux de
+référence comme [Tarantola87]_.
Les possibilités d'extension de cette estimation d'état, en utilisant de manière
plus explicite des méthodes d'optimisation et leurs propriétés, peuvent être
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
convergence en temps fini. Ici, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : la *régression de quantile (Quantile
-Regression)* [WikipediaQR]_ and l'*optimisation par essaim de particules
+Regression)* [WikipediaQR]_ et l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.
En second lieu, les méthodes d'optimisation cherchent usuellement à minimiser
méta-heuristiques pour les problèmes à valeurs réelles, etc. Comme précédemment,
le principal désavantage de ces méthodes est un coût numérique souvent bien
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
-convergence en temps fini. Ici, on ne mentionne encore que des méthodes qui sont
+convergence en temps fini. Ici encore, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.
