Documentation and functions minor update correction

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..
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   Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D

.. _section_theory:

=================================================================================
**[DocT]** Une brève introduction à l'Assimilation de Données et à l'Optimisation
=================================================================================

.. index:: single: Data Assimilation
.. index:: single: assimilation de données
.. index:: single: état vrai
.. index:: single: observation
.. index:: single: a priori

L'**assimilation de données** est un cadre général pour le calcul de
l'estimation optimale de l'état réel d'un système, au cours du temps si
nécessaire. Il utilise les valeurs obtenues en combinant des observations et des
modèles *a priori*, incluant de plus des informations sur leurs erreurs.

En d'autres termes, l'assimilation de données rassemble les données mesurées
d'un système, qui sont les observations, avec une connaissance physique et
mathématique *a priori* du système, intégrée dans les modèles numériques, afin
d'obtenir la meilleure estimation possible de l'état réel du système et de ses
propriétés stochastiques. On note que cet état réel (ou "*état vrai*") ne peut
être atteint, mais peut seulement être estimé. De plus, malgré le fait que les
informations utilisées sont stochastiques par nature, l'assimilation de données
fournit des techniques déterministes afin de réaliser l'estimation de manière
très efficace.

L'assimilation de données cherchant l'estimation la **meilleure possible**, la
démarche technique sous-jacente intègre toujours de l'optimisation afin de
trouver cette estimation : des méthodes d'optimisation choisies sont toujours
intégrées dans les algorithmes d'assimilation de données. Par ailleurs, les
méthodes d'optimisation peuvent être vues dans ADAO comme un moyen d'étendre les
applications d'assimilation de données. Elles seront présentées de cette façon
dans la section pour `Approfondir l'estimation d'état par des méthodes
d'optimisation`_, mais elles sont beaucoup plus générale et peuvent être
utilisés sans les concepts d'assimilation de données.

Deux types principaux d'applications existent en assimilation de données, qui
sont couverts par le même formalisme : l'**identification de paramètres** et la
**reconstruction de champs**. Avant d'introduire la `Description simple du cadre
méthodologique de l'assimilation de données`_ dans une prochaine section, nous
décrivons brièvement ces deux types d'applications. A la fin de ce chapitre,
quelques références permettent d'`Approfondir le cadre méthodologique de
l'assimilation de données`_ et d'`Approfondir l'estimation d'état par des
méthodes d'optimisation`_.

Reconstruction de champs ou interpolation de données
----------------------------------------------------

.. index:: single: reconstruction de champs
.. index:: single: interpolation de données
.. index:: single: interpolation de champs

La **reconstruction (ou l'interpolation) de champs** consiste à trouver, à
partir d'un nombre restreint de mesures réelles, le champs physique qui est le
plus *cohérent* avec ces mesures.

La *cohérence* est à comprendre en termes d'interpolation, c'est-à-dire que le
champ que l'on cherche à reconstruire, en utilisant de l'assimilation de données
sur les mesures, doit s'adapter au mieux aux mesures, tout en restant contraint
par la simulation globale du champ. Le champ calculé est donc une estimation *a
priori* du champ que l'on cherche à identifier.

Si le système évolue dans le temps, la reconstruction doit être établie à chaque
pas de temps, du champ dans son ensemble. Le processus d'interpolation est dans
ce cas plus compliqué car il est temporel, et plus seulement en termes de
valeurs instantanées du champ.

Un exemple simple de reconstruction de champs provient de la météorologie, dans
laquelle on recherche les valeurs de variables comme la température ou la
pression en tout point du domaine spatial. On dispose de mesures instantanées de
ces quantités en certains points, mais aussi d'un historique de ces mesures. De
plus, ces variables sont contraintes par les équations d'évolution de
l'atmosphère, qui indiquent par exemple que la pression en un point ne peut pas
prendre une valeur quelconque indépendamment de la valeur au même point à un
temps précédent. On doit donc faire la reconstruction d'un champ en tout point
de l'espace, de manière "cohérente" avec les équations d'évolution et avec les
mesures aux précédents pas de temps.

Identification de paramètres, ajustement de modèles, calibration
----------------------------------------------------------------

.. index:: single: identification de paramètres
.. index:: single: ajustement de paramètres
.. index:: single: ajustement de modèles
.. index:: single: calibration
.. index:: single: ébauche
.. index:: single: régularisation
.. index:: single: problèmes inverses

L'**identification (ou l'ajustement) de paramètres** par assimilation de données
est une forme de calibration d'état qui utilise simultanément les mesures
physiques et une estimation *a priori* des paramètres (appelée l'"*ébauche*")
d'état que l'on cherche à identifier, ainsi qu'une caractérisation de leurs
erreurs. De ce point de vue, cette démarche utilise toutes les informations
disponibles sur le système physique, avec des hypothèses restrictives mais
réalistes sur les erreurs, pour trouver l'"*estimation optimale*" de l'état
vrai. On peut noter, en termes d'optimisation, que l'ébauche réalise la
"*régularisation*", au sens mathématique de Tikhonov [Tikhonov77]_
[WikipediaTI]_, du problème principal d'identification de paramètres. On peut
aussi désigner cette démarche comme une résolution de type "*problème inverse*".

En pratique, les deux écarts (ou incréments) observés "*calculs-mesures*" et
"*calculs-ébauche*" sont combinés pour construire la correction de calibration
des paramètres ou des conditions initiales. L'ajout de ces deux incréments
requiert une pondération relative, qui est choisie pour refléter la confiance
que l'on donne à chaque information utilisée. Cette confiance est représentée
par la covariance des erreurs sur l'ébauche et sur les observations. Ainsi
l'aspect stochastique des informations est essentiel pour construire une
fonction d'erreur pour la calibration.

Un exemple simple d'identification de paramètres provient de tout type de
simulation physique impliquant un modèle paramétré. Par exemple, une simulation
de mécanique statique d'une poutre contrainte par des forces est décrite par les
paramètres de la poutre, comme un coefficient de Young, ou par l'intensité des
forces appliquées. Le problème d'estimation de paramètres consiste à chercher
par exemple la bonne valeur du coefficient de Young de telle manière à ce que la
simulation de la poutre corresponde aux mesures, en y incluant la connaissance
des erreurs.

Description simple du cadre méthodologique de l'assimilation de données
-----------------------------------------------------------------------

.. index:: single: ébauche
.. index:: single: covariances d'erreurs d'ébauche
.. index:: single: covariances d'erreurs d'observation
.. index:: single: covariances
.. index:: single: 3DVAR
.. index:: single: Blue

On peut décrire ces démarches de manière simple. Par défaut, toutes les
variables sont des vecteurs, puisqu'il y a plusieurs paramètres à ajuster, ou un
champ discrétisé à reconstruire.

Selon les notations standards en assimilation de données, on note
:math:`\mathbf{x}^a` les paramètres optimaux qui doivent être déterminés par
calibration, :math:`\mathbf{y}^o` les observations (ou les mesures
expérimentales) auxquelles on doit comparer les sorties de simulation,
:math:`\mathbf{x}^b` l'ébauche (valeurs *a priori*, ou valeurs de
régularisation) des paramètres cherchés, :math:`\mathbf{x}^t` les paramètres
inconnus idéaux qui donneraient exactement les observations (en supposant que
toutes les erreurs soient nulles et que le modèle soit exact) en sortie.

Dans le cas le plus simple, qui est statique, les étapes de simulation et
d'observation peuvent être combinées en un unique opérateur d'observation noté
:math:`H` (linéaire ou non-linéaire). Il transforme formellement les paramètres
:math:`\mathbf{x}` en entrée en résultats :math:`\mathbf{y}`, qui peuvent être
directement comparés aux observations :math:`\mathbf{y}^o` :

.. math:: \mathbf{y} = H(\mathbf{x})

De plus, on utilise l'opérateur linéarisé :math:`\mathbf{H}` pour représenter
l'effet de l'opérateur complet :math:`H` autour d'un point de linéarisation (et
on omettra ensuite de mentionner :math:`H` même si l'on peut le conserver). En
réalité, on a déjà indiqué que la nature stochastique des variables est
essentielle, provenant du fait que le modèle, l'ébauche et les observations sont
tous incorrects. On introduit donc des erreurs d'observations additives, sous la
forme d'un vecteur aléatoire :math:`\mathbf{\epsilon}^o` tel que :

.. math:: \mathbf{y}^o = \mathbf{H} \mathbf{x}^t + \mathbf{\epsilon}^o

Les erreurs représentées ici ne sont pas uniquement celles des observations, ce
sont aussi celles de la simulation. On peut toujours considérer que ces erreurs
sont de moyenne nulle. En notant :math:`E[.]` l'espérance mathématique
classique, on peut alors définir une matrice :math:`\mathbf{R}` des covariances
d'erreurs d'observation par l'expression :

.. math:: \mathbf{R} = E[\mathbf{\epsilon}^o.{\mathbf{\epsilon}^o}^T]

L'ébauche peut aussi être écrite formellement comme une fonction de la valeur
vraie, en introduisant le vecteur d'erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` tel que
:

.. math:: \mathbf{x}^b = \mathbf{x}^t + \mathbf{\epsilon}^b

Les erreurs :math:`\mathbf{\epsilon}^b` sont aussi supposées de moyenne nulle,
de la même manière que pour les observations. On définit la matrice
:math:`\mathbf{B}` des covariances d'erreurs d'ébauche par :

.. math:: \mathbf{B} = E[\mathbf{\epsilon}^b.{\mathbf{\epsilon}^b}^T]

L'estimation optimale des paramètres vrais :math:`\mathbf{x}^t`, étant donné
l'ébauche :math:`\mathbf{x}^b` et les observations :math:`\mathbf{y}^o`, est
ainsi "l'*analyse*" :math:`\mathbf{x}^a` et provient de la minimisation d'une
fonction d'erreur, explicite en assimilation variationnelle, ou d'une correction
de filtrage en assimilation par filtrage.

En **assimilation variationnelle**, dans un cas statique, on cherche
classiquement à minimiser la fonction :math:`J` suivante :

.. math:: J(\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+\frac{1}{2}(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})

:math:`J` est classiquement désignée comme la fonctionnelle "*3D-VAR*" en
assimilation de données (voir par exemple [Talagrand97]_) ou comme la
fonctionnelle de régularisation de Tikhonov généralisée en optimisation (voir
par exemple [WikipediaTI]_). Comme les matrices de covariance :math:`\mathbf{B}`
et :math:`\mathbf{R}` sont proportionnelles aux variances d'erreurs, leur
présence dans les deux termes de la fonctionnelle :math:`J` permet effectivement
de pondérer les termes d'écarts par la confiance dans les erreurs d'ébauche ou
d'observations. Le vecteur :math:`\mathbf{x}` des paramètres réalisant le
minimum de cette fonction constitue ainsi l'analyse :math:`\mathbf{x}^a`. C'est
à ce niveau que l'on doit utiliser toute la panoplie des méthodes de
minimisation de fonctions connues par ailleurs en optimisation (voir aussi la
section `Approfondir l'estimation d'état par des méthodes d'optimisation`_).
Selon la taille du vecteur :math:`\mathbf{x}` des paramètres à identifier, et la
disponibilité du gradient ou de la hessienne de :math:`J`, il est judicieux
d'adapter la méthode d'optimisation choisie (gradient, Newton, quasi-Newton...).

En **assimilation par filtrage**, dans ce cas simple usuellement dénommé
"*BLUE*" (pour "*Best Linear Unbiased Estimator*"), l'analyse
:math:`\mathbf{x}^a` est donnée comme une correction de l'ébauche
:math:`\mathbf{x}^b` par un terme proportionnel à la différence entre les
observations :math:`\mathbf{y}^o` et les calculs :math:`\mathbf{H}\mathbf{x}^b` :

.. math:: \mathbf{x}^a = \mathbf{x}^b + \mathbf{K}(\mathbf{y}^o - \mathbf{H}\mathbf{x}^b)

où :math:`\mathbf{K}` est la matrice de gain de Kalman, qui s'exprime à l'aide
des matrices de covariance sous la forme suivante :

.. math:: \mathbf{K} = \mathbf{B}\mathbf{H}^T(\mathbf{H}\mathbf{B}\mathbf{H}^T+\mathbf{R})^{-1}

L'avantage du filtrage est le calcul explicite du gain, pour produire ensuite la
matrice *a posteriori* de covariance d'analyse.

Dans ce cas statique simple, on peut montrer, sous une hypothèse de
distributions gaussiennes d'erreurs (très peu restrictive en pratique), que les
deux approches *variationnelle* et *de filtrage* donnent la même solution.

On indique que ces méthodes de "*3D-VAR*" et de "*BLUE*" peuvent être étendues à
des problèmes dynamiques, sous les noms respectifs de "*4D-VAR*" et de "*filtre
de Kalman*". Elles peuvent prendre en compte l'opérateur d'évolution pour
établir aux bons pas de temps une analyse de l'écart entre les observations et
les simulations et pour avoir, à chaque instant, la propagation de l'ébauche à
travers le modèle d'évolution. Un grand nombre de variantes ont été développées
pour accroître la qualité numérique des méthodes ou pour prendre en compte des
contraintes informatiques comme la taille ou la durée des calculs.

Approfondir le cadre méthodologique de l'assimilation de données
----------------------------------------------------------------

.. index:: single: estimation d'état
.. index:: single: estimation de paramètres
.. index:: single: problèmes inverses
.. index:: single: estimation bayésienne
.. index:: single: interpolation optimale
.. index:: single: régularisation mathématique
.. index:: single: méthodes de régularisation
.. index:: single: méthodes de lissage

Pour obtenir de plus amples informations sur les techniques d'assimilation de
données, le lecteur peut consulter les documents introductifs comme
[Talagrand97]_ ou [Argaud09]_, des supports de formations ou de cours comme
[Bouttier99]_ et [Bocquet04]_ (ainsi que d'autres documents issus des
applications des géosciences), ou des documents généraux comme [Talagrand97]_,
[Tarantola87]_, [Kalnay03]_, [Ide97]_, [Tikhonov77]_ et [WikipediaDA]_.

On note que l'assimilation de données n'est pas limitée à la météorologie ou aux
géo-sciences, mais est largement utilisée dans d'autres domaines scientifiques.
Il y a de nombreux champs d'applications scientifiques et technologiques dans
lesquels l'utilisation efficace des données observées, mais incomplètes, est
cruciale.

Certains aspects de l'assimilation de données sont aussi connus sous les noms
d'*estimation d'état*, d'*estimation de paramètres*, de *problèmes inverses*,
d'*estimation bayésienne*, d'*interpolation optimale*, de *régularisation
mathématique*, de *lissage de données*, etc. Ces termes peuvent être utilisés
dans les recherches bibliographiques.

Approfondir l'estimation d'état par des méthodes d'optimisation
---------------------------------------------------------------

.. index:: single: estimation d'état
.. index:: single: méthodes d'optimisation

Comme vu précédemment, dans un cas de simulation statique, l'assimilation
variationnelle de données nécessite de minimiser la fonction objectif :math:`J`:

.. math:: J(\mathbf{x})=(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)^T.\mathbf{B}^{-1}.(\mathbf{x}-\mathbf{x}^b)+(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})^T.\mathbf{R}^{-1}.(\mathbf{y}^o-\mathbf{H}.\mathbf{x})

qui est dénommée la fonctionnelle du "*3D-VAR*". Elle peut être vue comme la
forme étendue d'une *minimisation moindres carrés*, obtenue en ajoutant un terme
de régularisation utilisant :math:`\mathbf{x}-\mathbf{x}^b`, et en pondérant les
différences par les deux matrices de covariances :math:`\mathbf{B}` et
:math:`\mathbf{R}`. La minimisation de la fonctionnelle :math:`J` conduit à la
*meilleure* estimation de l'état :math:`\mathbf{x}`. Pour obtenir plus
d'informations sur ces notions, on se reportera aux ouvrages généraux de
référence comme [Tarantola87]_.

Les possibilités d'extension de cette estimation d'état, en utilisant de manière
plus explicite des méthodes d'optimisation et leurs propriétés, peuvent être
imaginées de deux manières.

En premier lieu, les méthodes classiques d'optimisation impliquent l'usage de
méthodes de minimisation variées basées sur un gradient. Elles sont extrêmement
efficaces pour rechercher un minimum local isolé. Mais elles nécessitent que la
fonctionnelle :math:`J` soit suffisamment régulière et différentiable, et elles
ne sont pas en mesure de saisir des propriétés globales du problème de
minimisation, comme par exemple : minimum global, ensemble de solutions
équivalentes dues à une sur-paramétrisation, multiples minima locaux, etc. **Une
méthode pour étendre les possibilités d'estimation consiste donc à utiliser
l'ensemble des méthodes d'optimisation existantes, permettant la minimisation
globale, diverses propriétés de robustesse de la recherche, etc**. Il existe de
nombreuses méthodes de minimisation, comme les méthodes stochastiques,
évolutionnaires, les heuristiques et méta-heuristiques pour les problèmes à
valeurs réelles, etc. Elles peuvent traiter des fonctionnelles :math:`J` en
partie irrégulières ou bruitées, peuvent caractériser des minima locaux, etc. Le
principal désavantage de ces méthodes est un coût numérique souvent bien
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
convergence en temps fini. Ici, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : la *régression de quantile (Quantile
Regression)* [WikipediaQR]_ et l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.

En second lieu, les méthodes d'optimisation cherchent usuellement à minimiser
des mesures quadratiques d'erreurs, car les propriétés naturelles de ces
fonctions objectifs sont bien adaptées à l'optimisation classique par gradient.
Mais d'autres mesures d'erreurs peuvent être mieux adaptées aux problèmes de
simulation de la physique réelle. Ainsi, **une autre manière d'étendre les
possibilités d'estimation consiste à utiliser d'autres mesures d'erreurs à
réduire**. Par exemple, on peut citer l'**erreur absolue**, l'**erreur
maximale**, etc. Ces mesures d'erreurs ne sont pas différentiables, mais
certaines méthodes d'optimisation peuvent les traiter: heuristiques et
méta-heuristiques pour les problèmes à valeurs réelles, etc. Comme précédemment,
le principal désavantage de ces méthodes est un coût numérique souvent bien
supérieur pour trouver les estimations d'états, et pas de garantie de
convergence en temps fini. Ici encore, on ne mentionne que des méthodes qui sont
disponibles dans le module ADAO : l'*optimisation par essaim de particules
(Particle Swarm Optimization)* [WikipediaPSO]_.

Le lecteur intéressé par le sujet de l'optimisation pourra utilement commencer
sa recherche grâce au point d'entrée [WikipediaMO]_.