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   Copyright (C) 2008-2022 EDF R&D

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   Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D

.. _section_ref_operator_requirements:

Conditions requises pour les fonctions décrivant un opérateur
-------------------------------------------------------------

.. index:: single: setObservationOperator
.. index:: single: setEvolutionModel
.. index:: single: setControlModel

Les opérateurs d'observation et d'évolution sont nécessaires pour mettre en
oeuvre les procédures d'assimilation de données ou d'optimisation. Ils
comprennent la simulation physique par des calculs numériques, mais aussi le
filtrage et de restriction pour comparer la simulation à l'observation.
L'opérateur d'évolution est ici considéré dans sa forme incrémentale, qui
représente la transition entre deux états successifs, et il est alors similaire
à l'opérateur d'observation.

Schématiquement, un opérateur :math:`O` a pour objet de restituer une solution
pour des paramètres d'entrée spécifiés. Une partie des paramètres d'entrée peut
être modifiée au cours de la procédure d'optimisation. Ainsi, la représentation
mathématique d'un tel processus est une fonction. Il a été brièvement décrit
dans la section :ref:`section_theory` et il est généralisé ici par la relation:

.. math:: \mathbf{y} = O( \mathbf{x} )

entre les pseudo-observations en sortie :math:`\mathbf{y}` et les paramètres
d'entrée :math:`\mathbf{x}` en utilisant l'opérateur d'observation ou
d'évolution :math:`O`. La même représentation fonctionnelle peut être utilisée
pour le modèle linéaire tangent :math:`\mathbf{O}` de :math:`O` et son adjoint
:math:`\mathbf{O}^*` qui sont aussi requis par certains algorithmes
d'assimilation de données ou d'optimisation.

En entrée et en sortie de ces opérateurs, les variables :math:`\mathbf{x}` et
:math:`\mathbf{y}`, ou leurs incréments, sont mathématiquement des vecteurs, et
ils peuvent donc être donnés par l'utilisateur comme des vecteurs non-orientés
(de type liste ou vecteur Numpy) ou orientés (de type matrice Numpy).

Ainsi, **pour décrire de manière complète un opérateur, l'utilisateur n'a qu'à
fournir une fonction qui réalise complètement et uniquement l'opération
fonctionnelle**.

Cette fonction est généralement donnée comme une fonction ou un script Python,
qui peuvent en particulier être exécuté comme une fonction Python indépendante
ou dans un noeud YACS. Cette fonction ou ce script peuvent, sans différences,
lancer des codes externes ou utiliser des appels et des méthodes internes
Python ou SALOME. Si l'algorithme nécessite les 3 aspects de l'opérateur (forme
directe, forme tangente et forme adjointe), l'utilisateur doit donner les 3
fonctions ou les approximer grâce à ADAO.

Il existe pour l'utilisateur 3 méthodes effectives de fournir une représentation
fonctionnelle de l'opérateur, qui diffèrent selon le type d'argument choisi:

- :ref:`section_ref_operator_one`
- :ref:`section_ref_operator_funcs`
- :ref:`section_ref_operator_switch`

Dans le cas de l'interface textuelle d'ADAO (TUI), seules les deux premières
sont nécessaires car la troisième est incluse dans la seconde. Dans le cas de
l'interface graphique EFICAS d'ADAO, ces méthodes sont choisies dans le champ
"*FROM*" de chaque opérateur ayant une valeur "*Function*" comme
"*INPUT_TYPE*", comme le montre la figure suivante :

  .. eficas_operator_function:
  .. image:: images/eficas_operator_function.png
    :align: center
    :width: 100%
  .. centered::
    **Choisir graphiquement une représentation fonctionnelle de l'opérateur**

En interface textuelle d'ADAO (TUI), dans le cas précis illustré ci-dessus, on
réalise la même démarche en écrivant :
::

    ...
    case.set( 'ObservationOperator',
        OneFunction = True,
        Script = 'scripts_for_JDC.py'
        )
    ...

.. _section_ref_operator_one:

Première forme fonctionnelle : un seul opérateur direct
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

.. index:: single: OneFunction
.. index:: single: ScriptWithOneFunction
.. index:: single: DirectOperator
.. index:: single: DifferentialIncrement
.. index:: single: CenteredFiniteDifference

La première consiste à ne fournir qu'une seule fonction, potentiellement non
linéaire, et à approximer les opérateurs tangent et adjoint associés.

Ceci est fait dans ADAO en utilisant, dans l'interface graphique EFICAS d'ADAO,
le mot-clé "*ScriptWithOneFunction*" pour la description par un script. Dans
l'interface textuelle, c'est le mot-clé "*OneFunction*", éventuellement combiné
avec le mot-clé "*Script*" selon que c'est une fonction ou un script. Si c'est
par script externe, l'utilisateur doit fournir un fichier contenant une
fonction qui porte le nom obligatoire "*DirectOperator*". Par exemple, un
script externe peut suivre le modèle générique suivant::

    def DirectOperator( X ):
        """ Opérateur direct de simulation non-linéaire """
        ...
        ...
        ...
        return Y=O(X)

Dans ce cas, l'utilisateur doit aussi fournir une valeur pour l'incrément
différentiel (ou conserver la valeur par défaut), en utilisant dans l'interface
graphique (GUI) ou textuelle (TUI) le mot-clé "*DifferentialIncrement*" comme
paramètre, qui a une valeur par défaut de 1%. Ce coefficient est utilisé dans
l'approximation différences finies pour construire les opérateurs tangent et
adjoint. L'ordre de l'approximation différences finies peut aussi être choisi à
travers l'interface, en utilisant le mot-clé "*CenteredFiniteDifference*", avec
0 pour un schéma non centré du premier ordre (qui est la valeur par défaut), et
avec 1 pour un schéma centré du second ordre (et qui coûte numériquement deux
fois plus cher que le premier ordre). Si nécessaire et si possible, on peut
:ref:`subsection_ref_parallel_df`. Dans tous les cas, un mécanisme de cache
interne permet de limiter le nombre d'évaluations de l'opérateur au minimum
possible du point de vue de l'exécution séquentielle ou parallèle des
approximations numériques des opérateurs tangent et adjoint, pour éviter des
calculs redondants.

Cette première forme de définition de l'opérateur permet aisément de tester la
forme fonctionnelle avant son usage dans un cas ADAO, réduisant notablement la
complexité de l'implémentation de l'opérateur. On peut ainsi utiliser
l'algorithme ADAO de vérification "*FunctionTest*" (voir la section sur
l':ref:`section_ref_algorithm_FunctionTest`) pour ce test.

**Avertissement important :** le nom "*DirectOperator*" est obligatoire, et le
type de l'argument ``X`` peut être une liste de valeur réelles, un vecteur
Numpy ou une matrice Numpy. La fonction utilisateur doit accepter et traiter
tous ces cas.

.. _section_ref_operator_funcs:

Seconde forme fonctionnelle : trois opérateurs direct, tangent et adjoint
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

.. index:: single: ThreeFunctions
.. index:: single: ScriptWithFunctions
.. index:: single: DirectOperator
.. index:: single: TangentOperator
.. index:: single: AdjointOperator

.. warning::

  En général, il est recommandé d'utiliser la première forme fonctionnelle
  plutôt que la seconde. Un petit accroissement de performances n'est pas une
  bonne raison pour utiliser l'implémentation détaillée de cette seconde forme
  fonctionnelle.

La seconde consiste à fournir directement les trois opérateurs liés :math:`O`,
:math:`\mathbf{O}` et :math:`\mathbf{O}^*`. C'est effectué en utilisant le
mot-clé "*ScriptWithFunctions*" pour la description de l'opérateur choisi dans
l'interface graphique EFICAS d'ADAO. Dans l'interface textuelle, c'est le
mot-clé "*ThreeFunctions*", éventuellement combiné avec le mot-clé "*Script*"
selon que c'est une fonction ou un script. L'utilisateur doit fournir dans un
script trois fonctions, avec les trois noms obligatoires "*DirectOperator*",
"*TangentOperator*" et "*AdjointOperator*". Par exemple, le script externe peut
suivre le squelette suivant::

    def DirectOperator( X ):
        """ Opérateur direct de simulation non-linéaire """
        ...
        ...
        ...
        return "un vecteur similaire à Y"

    def TangentOperator( paire = (X, dX) ):
        """ Opérateur linéaire tangent, autour de X, appliqué à dX """
        X, dX = paire
        ...
        ...
        ...
        return "un vecteur similaire à Y"

    def AdjointOperator( paire = (X, Y) ):
        """ Opérateur adjoint, autour de X, appliqué à Y """
        X, Y = paire
        ...
        ...
        ...
        return "un vecteur similaire à X"

Un nouvelle fois, cette seconde définition d'opérateur permet aisément de tester
les formes fonctionnelles avant de les utiliser dans le cas ADAO, réduisant la
complexité de l'implémentation de l'opérateur.

Pour certains algorithmes (en particulier les filtres non ensemblistes), il
faut que les fonctions tangente et adjointe puisse renvoyer les matrices
équivalentes à l'opérateur linéaire. Dans ce cas, lorsque, respectivement, les
arguments ``dX`` ou ``Y`` valent ``None``, le script de l'utilisateur doit
renvoyer la matrice associée. Les squelettes des fonctions "*TangentOperator*"
et "*AdjointOperator*" deviennent alors les suivants::

    def TangentOperator( paire = (X, dX) ):
        """ Opérateur linéaire tangent, autour de X, appliqué à dX """
        X, dX = paire
        ...
        ...
        ...
        if dX is None or len(dX) == 0:
            return "la matrice de l'opérateur linéaire tangent"
        else:
            return "un vecteur similaire à Y"

    def AdjointOperator( paire = (X, Y) ):
        """ Opérateur adjoint, autour de X, appliqué à Y """
        X, Y = paire
        ...
        ...
        ...
        if Y is None or len(Y) == 0:
            return "la matrice de l'opérateur linéaire adjoint"
        else:
            return "un vecteur similaire à X"

**Avertissement important :** les noms "*DirectOperator*", "*TangentOperator*"
et "*AdjointOperator*" sont obligatoires, et le type des arguments ``X``,
``Y``, ``dX`` peut être une liste de valeur réelles, un vecteur Numpy ou une
matrice Numpy. La fonction utilisateur doit accepter et traiter tous ces cas.

.. _section_ref_operator_switch:

Troisième forme fonctionnelle : trois opérateurs avec un branchement
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

.. index:: single: ScriptWithSwitch
.. index:: single: DirectOperator
.. index:: single: TangentOperator
.. index:: single: AdjointOperator

.. warning::

  Il est recommandé de ne pas utiliser cette troisième forme fonctionnelle sans
  une solide raison numérique ou physique. Un accroissement de performances
  n'est pas une bonne raison pour utiliser la complexité de cette troisième
  forme fonctionnelle. Seule une impossibilité à utiliser les première ou
  seconde formes justifie l'usage de la troisième.

La troisième forme donne de plus grandes possibilités de contrôle de
l'exécution des trois fonctions représentant l'opérateur, permettant un usage
et un contrôle avancés sur chaque exécution du code de simulation. C'est
réalisable en utilisant le mot-clé "*ScriptWithSwitch*" pour la description de
l'opérateur à travers l'interface graphique EFICAS d'ADAO. Dans l'interface
textuelle, il suffit d'utiliser le mot-clé "*ThreeFunctions*" précédent pour
définir aussi ce cas, en indiquant les fonctions adéquates. L'utilisateur doit
fournir un script unique aiguillant, selon un contrôle, l'exécution des formes
directe, tangente et adjointe du code de simulation. L'utilisateur peut alors,
par exemple, utiliser des approximations pour les codes tangent et adjoint, ou
introduire une plus grande complexité du traitement des arguments des
fonctions. Mais cette démarche sera plus difficile à implémenter et à déboguer.

Toutefois, si vous souhaitez utiliser cette troisième forme, on recommande de
se baser sur le modèle suivant pour le script d'aiguillage. Il nécessite un
fichier script ou un code externe nommé ici
"*Physical_simulation_functions.py*", contenant trois fonctions nommées
"*DirectOperator*", "*TangentOperator*" et "*AdjointOperator*" comme
précédemment. Voici le squelette d'aiguillage:
::

    import Physical_simulation_functions
    import numpy, logging, codecs, pickle
    def loads( data ):
        return pickle.loads(codecs.decode(data.encode(), "base64"))
    #
    method = ""
    for param in computation["specificParameters"]:
        if param["name"] == "method":
            method = loads(param["value"])
    if method not in ["Direct", "Tangent", "Adjoint"]:
        raise ValueError("No valid computation method is given")
    logging.info("Found method is \'%s\'"%method)
    #
    logging.info("Loading operator functions")
    Function = Physical_simulation_functions.DirectOperator
    Tangent  = Physical_simulation_functions.TangentOperator
    Adjoint  = Physical_simulation_functions.AdjointOperator
    #
    logging.info("Executing the possible computations")
    data = []
    if method == "Direct":
        logging.info("Direct computation")
        Xcurrent = computation["inputValues"][0][0][0]
        data = Function(numpy.matrix( Xcurrent ).T)
    if method == "Tangent":
        logging.info("Tangent computation")
        Xcurrent  = computation["inputValues"][0][0][0]
        dXcurrent = computation["inputValues"][0][0][1]
        data = Tangent(numpy.matrix(Xcurrent).T, numpy.matrix(dXcurrent).T)
    if method == "Adjoint":
        logging.info("Adjoint computation")
        Xcurrent = computation["inputValues"][0][0][0]
        Ycurrent = computation["inputValues"][0][0][1]
        data = Adjoint((numpy.matrix(Xcurrent).T, numpy.matrix(Ycurrent).T))
    #
    logging.info("Formatting the output")
    it = numpy.ravel(data)
    outputValues = [[[[]]]]
    for val in it:
      outputValues[0][0][0].append(val)
    #
    result = {}
    result["outputValues"]        = outputValues
    result["specificOutputInfos"] = []
    result["returnCode"]          = 0
    result["errorMessage"]        = ""

Toutes les modifications envisageables peuvent être faites à partir de cette
hypothèse de squelette.

.. _section_ref_operator_control:

Cas spécial d'un opérateur d'évolution avec contrôle
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Dans certains cas, l'opérateur d'évolution ou d'observation doit être contrôlé
par un contrôle d'entrée externe, qui est donné *a priori*. Dans ce cas, la
forme générique du modèle incrémental :math:`O` est légèrement modifiée comme
suit :

.. math:: \mathbf{y} = O( \mathbf{x}, \mathbf{u})

où :math:`\mathbf{u}` est le contrôle sur l'incrément d'état. En effet,
l'opérateur direct doit être appliqué à une paire de variables :math:`(X,U)`.
Schématiquement, l'opérateur :math:`O` doit être construit comme une fonction
applicable sur une paire :math:`\mathbf{(X, U)}` comme suit :
::

    def DirectOperator( paire = (X, U) ):
        """ Opérateur direct de simulation non-linéaire """
        X, U = paire
        ...
        ...
        ...
        return quelque chose comme X(n+1) (évolution) ou Y(n+1) (observation)

Les opérateurs tangent et adjoint ont la même signature que précédemment, en
notant que les dérivées doivent être faites seulement partiellement par rapport
à :math:`\mathbf{x}`. Dans un tel cas de contrôle explicite, seule la deuxième
forme fonctionnelle (en utilisant "*ScriptWithFunctions*") et la troisième
forme fonctionnelle (en utilisant "*ScriptWithSwitch*") peuvent être utilisées.

.. _section_ref_operator_dimensionless:

Remarques complémentaires sur l'adimensionnement des opérateurs
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

.. index:: single: Adimensionnement
.. index:: single: Sans dimension

Il est fréquent que les grandeurs physiques, en entrée ou en sortie des
opérateurs, présentent des différences notables d'ordre de grandeur ou de taux
de variation. Une manière d'éviter des difficultés numériques est d'utiliser,
ou d'établir, un adimensionnement des calculs menés dans les opérateurs
[WikipediaND]_. Par principe, dans la mesure où la simulation de la physique
devrait être la plus adimensionnée possible, il est en premier lieu recommandé
d'utiliser les capacités existantes d'adimensionnement du code de calcul.

Néanmoins, dans le cas courant où l'on ne peut en disposer, il est souvent
utile d'environner le calcul pour l'adimensionner en entrée ou en sortie. Une
manière simple de faire cela en entrée consiste à transformer les paramètres
:math:`\mathbf{x}` en argument d'une fonction comme "*DirectOperator*". On
utilise le plus souvent comme référence les valeurs par défaut
:math:`\mathbf{x}^b` (ébauche, ou valeur nominale). Pourvu que chaque
composante de :math:`\mathbf{x}^b` soit non nulle, on peut ensuite procéder par
correction multiplicative. Pour cela, on peut par exemple poser :

.. math:: \mathbf{x} = \mathbf{\alpha}\mathbf{x}^b

et optimiser ensuite le paramètre multiplicatif :math:`\mathbf{\alpha}`. Ce
paramètre a pour valeur par défaut (ou pour ébauche) un vecteur de 1. De
manière similaire, on peut procéder par correction additive si c'est plus
judicieux pour la physique sous-jacente. Ainsi, dans ce cas, on peut poser :

.. math:: \mathbf{x} =\mathbf{x}^b + \mathbf{\alpha}

et optimiser ensuite le paramètre additif :math:`\mathbf{\alpha}`. Cette fois,
ce paramètre a pour valeur d'ébauche un vecteur de 0.

Attention, l'application d'une démarche d'adimensionnement nécessite aussi la
modification des covariances d'erreurs associées dans la formulation globale du
problème d'optimisation.

Une telle démarche suffit rarement à éviter tous les problèmes numériques, mais
permet souvent d'améliorer beaucoup le conditionnement numérique de
l'optimisation.

Gestion explicite de fonctions "multiples"
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

.. warning::

  Il est fortement recommandé de ne pas utiliser cette gestion explicite de
  fonctions "multiples" sans une très solide raison informatique pour le faire.
  Cette gestion est déjà effectuée par défaut dans ADAO pour l'amélioration des
  performances. Seul l'utilisateur très averti, cherchant à gérer des cas
  particulièrement difficiles, peut s'intéresser à cette extension. En dépit de
  sa simplicité, c'est au risque explicite de dégrader notablement les
  performances.

Il est possible, lorsque l'on fournit des fonctions d'opérateurs, de les
définir comme des fonctions qui traitent non pas un seul argument, mais une
série d'arguments, pour restituer en sortie la série des valeurs
correspondantes. En pseudo-code, la fonction "multiple", ici nommée
``MultiFunctionO``, représentant l'opérateur classique :math:`O` nommé
"*DirectOperator*", effectue :
::

    def MultiFunctionO( Inputs ):
        """ Multiple ! """
        Outputs = []
        for X in Inputs:
            Y = DirectOperator( X )
            Outputs.append( Y )
        return Outputs

La longueur de la sortie (c'est-à-dire le nombre de valeurs calculées) est
égale à la longueur de l'entrée (c'est-à-dire le nombre d'états dont on veut
calculer la valeur par l'opérateur).

Cette possibilité n'est disponible que dans l'interface textuelle d'ADAO. Pour
cela, lors de la définition d'une fonction d'opérateur, en même temps que l'on
définit de manière habituelle la fonction ou le script externe, il suffit
d'indiquer en plus en argument par un booléen "*InputFunctionAsMulti*" que la
définition est celle d'une fonction "multiple".