doc/fr/ref_covariance_requirements.rst

   1 ..
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  19
  20    See http://www.salome-platform.org/ or email : webmaster.salome@opencascade.com
  21
  22    Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D
  23
  24 .. _section_ref_covariance_requirements:
  25
  26 Exigences pour décrire les matrices de covariance
  27 -------------------------------------------------
  28
  29 .. index:: single: setBackgroundError
  30 .. index:: single: setObservationError
  31 .. index:: single: setEvolutionError
  32 .. index:: single: matrice de covariance
  33 .. index:: single: covariances d'erreurs d'ébauche
  34 .. index:: single: covariances d'erreurs d'observation
  35 .. index:: single: covariances
  36
  37 De manière générale, une matrice de variances-covariances, généralement appelée
  38 matrice de covariance, doit être carrée, symétrique et semi-définie positive.
  39 Chacun de ses termes décrit la covariance des deux variables aléatoires
  40 correspondantes à sa position dans la matrice. La forme normalisée de la
  41 covariance est la corrélation linéaire. On peut écrire la relation suivante,
  42 entre une matrice de covariance :math:`\mathbf{M}` et ses matrices
  43 correspondantes de corrélation :math:`\mathbf{C}` (matrice pleine) et
  44 d'écart-type :math:`\mathbf{\Sigma}` (matrice diagonale):
  45
  46 .. math:: \mathbf{M} = \mathbf{\Sigma} * \mathbf{C} * \mathbf{\Sigma}
  47
  48 Diverses matrices de covariance sont nécessaires pour mettre en oeuvre des
  49 procédures d'assimilation de données ou d'optimisation. Les principales sont la
  50 matrice de covariance des erreurs d'ébauche, notée :math:`\mathbf{B}`, et la
  51 matrice de covariance des erreurs d'observation, notée :math:`\mathbf{R}`.
  52
  53 Dans l'interface graphique EFICAS d'ADAO, il y a 3 méthodes pratiques pour
  54 l'utilisateur pour fournir une matrice de covariance. La méthode est choisie à
  55 l'aide du mot-clé "*INPUT_TYPE*" de chaque matrice de covariance, comme montré
  56 dans la figure qui suit :
  57
  58   .. eficas_covariance_matrix:
  59   .. image:: images/eficas_covariance_matrix.png
  60     :align: center
  61     :width: 100%
  62   .. centered::
  63     **Choisir la représentation d'une matrice de covariance**
  64
  65 Dans l'interface textuelle (TUI) d'ADAO (voir la partie :ref:`section_tui`),
  66 les mêmes informations peuvent être données à l'aide de la commande adéquate
  67 "*setBackgroundError*", "*setObservationError*" ou "*setEvolutionError*" selon
  68 la grandeur physique à définir. Les autres arguments "*Matrix*",
  69 "*ScalarSparseMatrix*" et "*DiagonalSparseMatrix*" de la commande permettent de
  70 la définir comme décrit dans les sous-parties qui suivent. Ces informations
  71 peuvent aussi être fournies dans un script contenu en fichier externe (argument
  72 "*Script*").
  73
  74 Première forme matricielle : utiliser la représentation "*Matrix*"
  75 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  76
  77 .. index:: single: Matrix
  78 .. index:: single: BackgroundError
  79 .. index:: single: EvolutionError
  80 .. index:: single: ObservationError
  81
  82 La première forme est le défaut, et c'est la plus générale. La matrice de
  83 covariance :math:`\mathbf{M}` doit être entièrement spécifiée. Même si la
  84 matrice est symétrique par nature, la totalité de la matrice :math:`\mathbf{M}`
  85 doit être fournie.
  86
  87 .. math:: \mathbf{M} =  \begin{pmatrix}
  88     m_{11} & m_{12} & \cdots   & m_{1n} \\
  89     m_{21} & m_{22} & \cdots   & m_{2n} \\
  90     \vdots & \vdots & \vdots   & \vdots \\
  91     m_{n1} & \cdots & m_{nn-1} & m_{nn}
  92     \end{pmatrix}
  93
  94 Cela peut être réalisé soit par un vecteur ou une matrice Numpy, soit par une
  95 liste de listes de valeurs (c'est-à-dire une liste de lignes). Par exemple, une
  96 matrice simple diagonale unitaire de covariances des erreurs d'ébauche
  97 :math:`\mathbf{B}` peut être décrite dans un fichier de script Python par::
  98
  99     BackgroundError = [[1, 0 ... 0], [0, 1 ... 0] ... [0, 0 ... 1]]
 100
 101 ou::
 102
 103     BackgroundError = numpy.eye(...)
 104
 105 Seconde forme matricielle : utiliser la représentation "*ScalarSparseMatrix*"
 106 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 107
 108 .. index:: single: ScalarSparseMatrix
 109 .. index:: single: BackgroundError
 110 .. index:: single: EvolutionError
 111 .. index:: single: ObservationError
 112
 113 Au contraire, la seconde forme matricielle est une méthode très simplifiée pour
 114 définir une matrice. La matrice de covariance :math:`\mathbf{M}` est ici
 115 supposée être un multiple positif de la matrice identité. Cette matrice peut
 116 alors être spécifiée de manière unique par le multiplicateur :math:`m`:
 117
 118 .. math:: \mathbf{M} =  m \times \begin{pmatrix}
 119     1       & 0      & \cdots   & 0      \\
 120     0       & 1      & \cdots   & 0      \\
 121     \vdots  & \vdots & \vdots   & \vdots \\
 122     0       & \cdots & 0        & 1
 123     \end{pmatrix}
 124
 125 Le multiplicateur :math:`m` doit être un nombre réel ou entier positif (s'il
 126 est négatif, ce qui est impossible car une matrice de covariance est positive,
 127 il est convertit en nombre positif). Par exemple, une simple matrice diagonale
 128 unitaire de covariances des erreurs d'ébauche :math:`\mathbf{B}` peut être
 129 décrite dans un fichier de script Python par::
 130
 131     BackgroundError = 1.
 132
 133 ou, mieux, par un argument "*String*" directement dans le cas graphique ou
 134 textuel ADAO.
 135
 136 Troisième forme matricielle : utiliser la représentation "*DiagonalSparseMatrix*"
 137 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 138
 139 .. index:: single: DiagonalSparseMatrix
 140 .. index:: single: BackgroundError
 141 .. index:: single: EvolutionError
 142 .. index:: single: ObservationError
 143
 144 La troisième forme est aussi une méthode simplifiée pour fournir la matrice,
 145 mais un peu plus puissante que la seconde. La matrice de covariance
 146 :math:`\mathbf{M}` est ici toujours considérée comme diagonale, mais
 147 l'utilisateur doit spécifier toutes les valeurs positives situées sur la
 148 diagonale. La matrice peut alors être définie uniquement par un vecteur
 149 :math:`\mathbf{V}` qui se retrouve ensuite sur la diagonale:
 150
 151 .. math:: \mathbf{M} =  \begin{pmatrix}
 152     v_{1}  & 0      & \cdots   & 0      \\
 153     0      & v_{2}  & \cdots   & 0      \\
 154     \vdots & \vdots & \vdots   & \vdots \\
 155     0      & \cdots & 0        & v_{n}
 156     \end{pmatrix}
 157
 158 Cela peut être réalisé soit par vecteur ou une matrice Numpy, soit par
 159 une liste, soit par une liste de listes de valeurs positives (dans tous les cas,
 160 si certaines valeurs sont négatives, elles sont converties en valeurs
 161 positives). Par exemple, un matrice simple diagonale unitaire des covariances
 162 des erreurs d'ébauche :math:`\mathbf{B}` peut être décrite dans un fichier de
 163 script Python par::
 164
 165     BackgroundError = [1, 1 ... 1]
 166
 167 ou::
 168
 169     BackgroundError = numpy.ones(...)
 170
 171 De la même manière que précédemment, on peut aussi définir cette matrice par
 172 un "*String*" directement dans le cas graphique ou textuel ADAO.