doc/fr/ref_covariance_requirements.rst

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  19
  20    See http://www.salome-platform.org/ or email : webmaster.salome@opencascade.com
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  22    Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D
  23
  24 .. _section_ref_covariance_requirements:
  25
  26 Exigences pour décrire les matrices de covariance
  27 -------------------------------------------------
  28
  29 .. index:: single: matrice de covariance
  30 .. index:: single: covariances d'erreurs d'ébauche
  31 .. index:: single: covariances d'erreurs d'observation
  32 .. index:: single: covariances
  33
  34 De manière générale, une matrice de covariance (ou une matrice de
  35 variance-covariance) doit être carrée, symétrique, semi-définie positive. Chacun
  36 de ses termes décrit la covariance des deux variables aléatoires correspondantes
  37 à sa position dans la matrice. La forme normalisée de la covariance est la
  38 corrélation linéaire. On peut écrire la relation suivante, entre une matrice de
  39 covariance :math:`\mathbf{M}` et ses matrices correspondantes de corrélation
  40 :math:`\mathbf{C}` (matrice pleine) et d'écart-type :math:`\mathbf{\Sigma}`
  41 (matrice diagonale):
  42
  43 .. math:: \mathbf{M} = \mathbf{\Sigma} * \mathbf{C} * \mathbf{\Sigma}
  44
  45 Diverses matrices de covariance sont nécessaires pour mettre en oeuvre des
  46 procédures d'assimilation de données ou d'optimisation. Les principales sont la
  47 matrice de covariance des erreurs d'ébauche, notée :math:`\mathbf{B}`, et la
  48 matrice de covariance des erreurs d'observation, notée :math:`\mathbf{R}`.
  49
  50 Il y a 3 méthodes pratiques pour l'utilisateur pour fournir une matrice de
  51 covariance. La méthode est choisie à l'aide du mot-clé "*INPUT_TYPE*" de chaque
  52 matrice de covariance, comme montré dans la figure qui suit :
  53
  54   .. eficas_covariance_matrix:
  55   .. image:: images/eficas_covariance_matrix.png
  56     :align: center
  57     :width: 100%
  58   .. centered::
  59     **Choisir la représentation d'une matrice de covariance**
  60
  61 Première forme matricielle : utiliser la représentation "*Matrix*"
  62 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  63
  64 .. index:: single: Matrix
  65 .. index:: single: BackgroundError
  66 .. index:: single: EvolutionError
  67 .. index:: single: ObservationError
  68
  69 La première forme est le défaut, et c'est la plus générale. La matrice de
  70 covariance :math:`\mathbf{M}` doit être entièrement spécifiée. Même si la
  71 matrice est symétrique par nature, la totalité de la matrice :math:`\mathbf{M}`
  72 doit être donnée.
  73
  74 .. math:: \mathbf{M} =  \begin{pmatrix}
  75     m_{11} & m_{12} & \cdots   & m_{1n} \\
  76     m_{21} & m_{22} & \cdots   & m_{2n} \\
  77     \vdots & \vdots & \vdots   & \vdots \\
  78     m_{n1} & \cdots & m_{nn-1} & m_{nn}
  79     \end{pmatrix}
  80
  81 Cela peut être réalisé soit par un vecteur ou une matrice Numpy, soit par une
  82 liste de listes de valeurs (c'est-à-dire une liste de lignes). Par exemple, une
  83 matrice simple diagonale unitaire de covariances des erreurs d'ébauche
  84 :math:`\mathbf{B}` peut être décrite dans un fichier de script Python par::
  85
  86     BackgroundError = [[1, 0 ... 0], [0, 1 ... 0] ... [0, 0 ... 1]]
  87
  88 ou::
  89
  90     BackgroundError = numpy.eye(...)
  91
  92 Seconde forme matricielle : utiliser la représentation "*ScalarSparseMatrix*"
  93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
  94
  95 .. index:: single: ScalarSparseMatrix
  96 .. index:: single: BackgroundError
  97 .. index:: single: EvolutionError
  98 .. index:: single: ObservationError
  99
 100 Au contraire, la seconde forme matricielle est une méthode très simplifiée pour
 101 définir une matrice. La matrice de covariance :math:`\mathbf{M}` est ici
 102 supposée être un multiple positif de la matrice identité. Cette matrice peut
 103 alors être spécifiée de manière unique par le multiplicateur :math:`m`:
 104
 105 .. math:: \mathbf{M} =  m \times \begin{pmatrix}
 106     1       & 0      & \cdots   & 0      \\
 107     0       & 1      & \cdots   & 0      \\
 108     \vdots  & \vdots & \vdots   & \vdots \\
 109     0       & \cdots & 0        & 1
 110     \end{pmatrix}
 111
 112 Le multiplicateur :math:`m` doit être un nombre réel ou entier positif (s'il
 113 est négatif, ce qui est impossible car une matrice de covariance est positive,
 114 il est convertit en nombre positif). Par exemple, une simple matrice diagonale
 115 unitaire de covariances des erreurs d'ébauche :math:`\mathbf{B}` peut être
 116 décrite dans un fichier de script Python par::
 117
 118     BackgroundError = 1.
 119
 120 ou, mieux, par un "*String*" directement dans le cas ADAO.
 121
 122 Troisième forme matricielle : utiliser la représentation "*DiagonalSparseMatrix*"
 123 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 124
 125 .. index:: single: DiagonalSparseMatrix
 126 .. index:: single: BackgroundError
 127 .. index:: single: EvolutionError
 128 .. index:: single: ObservationError
 129
 130 La troisième forme est aussi une méthode simplifiée pour fournir la matrice,
 131 mais un peu plus puissante que la seconde. La matrice de covariance
 132 :math:`\mathbf{M}` est ici toujours considérée comme diagonale, mais
 133 l'utilisateur doit spécifier toutes les valeurs positives situées sur la
 134 diagonale. La matrice peut alors être définie uniquement par un vecteur
 135 :math:`\mathbf{V}` qui se retrouve ensuite sur la diagonale:
 136
 137 .. math:: \mathbf{M} =  \begin{pmatrix}
 138     v_{1}  & 0      & \cdots   & 0      \\
 139     0      & v_{2}  & \cdots   & 0      \\
 140     \vdots & \vdots & \vdots   & \vdots \\
 141     0      & \cdots & 0        & v_{n}
 142     \end{pmatrix}
 143
 144 Cela peut être réalisé soit par vecteur ou une matrice Numpy, soit par
 145 une liste, soit par une liste de listes de valeurs positives (dans tous les cas,
 146 si certaines valeurs sont négatives, elles sont converties en valeurs
 147 positives). Par exemple, un matrice simple diagonale unitaire des covariances
 148 des erreurs d'ébauche :math:`\mathbf{B}` peut être décrite dans un fichier de
 149 script Python par::
 150
 151     BackgroundError = [1, 1 ... 1]
 152
 153 ou::
 154
 155     BackgroundError = numpy.ones(...)