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18 Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
20 See http://www.salome-platform.org/ or email : webmaster.salome@opencascade.com
22 Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D
24 .. index:: single: LinearityTest
25 .. _section_ref_algorithm_LinearityTest:
27 Algorithme de vérification "*LinearityTest*"
28 --------------------------------------------
30 .. ------------------------------------ ..
31 .. include:: snippets/Header2Algo01.rst
33 Cet algorithme permet de vérifier la qualité de linéarité d'un opérateur, en
34 calculant un résidu dont les propriétés théoriques sont connues. Plusieurs
35 formules de résidu sont utilisables et sont décrites ci-dessous avec leur
36 interprétation. Le test est applicable à un opérateur quelconque, d'évolution
37 :math:`\mathcal{D}` comme d'observation :math:`\mathcal{H}`.
39 Pour toutes les formules, avec :math:`\mathbf{x}` le point courant de
40 vérification, on prend :math:`\mathbf{dx}_0=Normal(0,\mathbf{x})` et
41 :math:`\mathbf{dx}=\alpha_0*\mathbf{dx}_0` avec :math:`\alpha_0` un paramètre
42 utilisateur de mise à l'échelle, par défaut à 1. :math:`F` est l'opérateur ou
43 le code de calcul (qui est ici acquis par la commande d'opérateur d'observation
44 "*ObservationOperator*").
49 On observe le résidu suivant, provenant de la différence centrée des valeurs de
50 :math:`F` au point nominal et aux points perturbés, normalisée par la valeur au
53 .. math:: R(\alpha) = \frac{|| F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) + F(\mathbf{x}-\alpha*\mathbf{dx}) - 2*F(\mathbf{x}) ||}{|| F(\mathbf{x}) ||}
55 S'il reste constamment très faible par rapport à 1, l'hypothèse de linéarité
56 de :math:`F` est vérifiée.
58 Si le résidu varie, ou qu'il est de l'ordre de 1 ou plus, et qu'il n'est
59 faible qu'à partir d'un certain ordre d'incrément, l'hypothèse de linéarité
60 de :math:`F` n'est pas vérifiée.
62 Si le résidu décroît et que la décroissance se fait en :math:`\alpha^2` selon
63 :math:`\alpha`, cela signifie que le gradient est bien calculé jusqu'au niveau
64 d'arrêt de la décroissance quadratique.
69 On observe le résidu issu du développement de Taylor de la fonction :math:`F`,
70 normalisée par la valeur au point nominal :
72 .. math:: R(\alpha) = \frac{|| F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) - F(\mathbf{x}) - \alpha * \nabla_xF(\mathbf{dx}) ||}{|| F(\mathbf{x}) ||}
74 S'il reste constamment très faible par rapport à 1, l'hypothèse de linéarité
75 de :math:`F` est vérifiée.
77 Si le résidu varie, ou qu'il est de l'ordre de 1 ou plus, et qu'il n'est
78 faible qu'à partir d'un certain ordre d'incrément, l'hypothèse de linéarité
79 de :math:`F` n'est pas vérifiée.
81 Si le résidu décroît et que la décroissance se fait en :math:`\alpha^2` selon
82 :math:`\alpha`, cela signifie que le gradient est bien calculé jusqu'au niveau
83 d'arrêt de la décroissance quadratique.
85 Résidu "NominalTaylor"
86 **********************
88 On observe le résidu obtenu à partir de deux approximations d'ordre 1 de
89 :math:`F(\mathbf{x})`, normalisées par la valeur au point nominal :
91 .. math:: R(\alpha) = \max(|| F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) - \alpha * F(\mathbf{dx}) || / || F(\mathbf{x}) ||,|| F(\mathbf{x}-\alpha*\mathbf{dx}) + \alpha * F(\mathbf{dx}) || / || F(\mathbf{x}) ||)
93 S'il reste constamment égal à 1 à moins de 2 ou 3 pourcents prés (c'est-à-dire
94 que :math:`|R-1|` reste égal à 2 ou 3 pourcents), c'est que l'hypothèse de
95 linéarité de :math:`F` est vérifiée.
97 S'il est égal à 1 sur une partie seulement du domaine de variation de
98 l'incrément :math:`\alpha`, c'est sur sous-domaine que l'hypothèse de linéarité
99 de :math:`F` est vérifiée.
101 Résidu "NominalTaylorRMS"
102 *************************
104 On observe le résidu obtenu à partir de deux approximations d'ordre 1 de
105 :math:`F(\mathbf{x})`, normalisées par la valeur au point nominal, dont on
106 calcule l'écart quadratique (RMS) avec la valeur au point nominal :
108 .. math:: R(\alpha) = \max(RMS( F(\mathbf{x}), F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) - \alpha * F(\mathbf{dx}) ) / || F(\mathbf{x}) ||,RMS( F(\mathbf{x}), F(\mathbf{x}-\alpha*\mathbf{dx}) + \alpha * F(\mathbf{dx}) ) / || F(\mathbf{x}) ||)
110 S'il reste constamment égal à 0 à moins de 1 ou 2 pourcents prés, c'est
111 que l'hypothèse de linéarité de F est vérifiée.
113 S'il est égal à 0 sur une partie seulement du domaine de variation de
114 l'incrément :math:`\alpha`, c'est sur cette partie que l'hypothèse de linéarité
117 .. ------------------------------------ ..
118 .. include:: snippets/Header2Algo12.rst
120 .. include:: snippets/FeaturePropDerivativeNeeded.rst
122 .. include:: snippets/FeaturePropParallelDerivativesOnly.rst
124 .. ------------------------------------ ..
125 .. include:: snippets/Header2Algo02.rst
127 .. include:: snippets/CheckingPoint.rst
129 .. include:: snippets/ObservationOperator.rst
131 .. ------------------------------------ ..
132 .. include:: snippets/Header2Algo03Chck.rst
134 .. include:: snippets/AmplitudeOfInitialDirection.rst
136 .. include:: snippets/AmplitudeOfTangentPerturbation.rst
138 .. include:: snippets/EpsilonMinimumExponent.rst
140 .. include:: snippets/InitialDirection.rst
142 .. include:: snippets/NumberOfPrintedDigits.rst
144 .. include:: snippets/ResiduFormula_LinearityTest.rst
146 .. include:: snippets/SetSeed.rst
148 StoreSupplementaryCalculations
149 .. index:: single: StoreSupplementaryCalculations
151 *Liste de noms*. Cette liste indique les noms des variables supplémentaires,
152 qui peuvent être disponibles au cours du déroulement ou à la fin de
153 l'algorithme, si elles sont initialement demandées par l'utilisateur. Leur
154 disponibilité implique, potentiellement, des calculs ou du stockage coûteux.
155 La valeur par défaut est donc une liste vide, aucune de ces variables n'étant
156 calculée et stockée par défaut (sauf les variables inconditionnelles). Les
157 noms possibles pour les variables supplémentaires sont dans la liste suivante
158 (la description détaillée de chaque variable nommée est donnée dans la suite
159 de cette documentation par algorithme spécifique, dans la sous-partie
160 "*Informations et variables disponibles à la fin de l'algorithme*") : [
163 "SimulatedObservationAtCurrentState",
167 ``{"StoreSupplementaryCalculations":["CurrentState", "Residu"]}``
169 .. ------------------------------------ ..
170 .. include:: snippets/Header2Algo04.rst
172 .. include:: snippets/Residu.rst
174 .. ------------------------------------ ..
175 .. include:: snippets/Header2Algo05.rst
177 .. include:: snippets/CurrentState.rst
179 .. include:: snippets/Residu.rst
181 .. include:: snippets/SimulatedObservationAtCurrentState.rst
183 .. ------------------------------------ ..
184 .. _section_ref_algorithm_LinearityTest_examples:
186 .. include:: snippets/Header2Algo06.rst
188 - :ref:`section_ref_algorithm_FunctionTest`