doc/en/scripts/simple_MeasurementsOptimalPositioningTask3.rst

   1 .. index:: single: MeasurementsOptimalPositioningTask (example)
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   3 Third example
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   6 This more complete example describes the optimal positioning of measurements
   7 associated with a reduced DEIM-type decomposition on a classical parametric
   8 non-linear function, as proposed in reference [Chaturantabut10]_. This
   9 particular function has the notable advantage of being dependent only on a
  10 position :math:`x` in 2D and a parameter :math:`\mu` in 2D too. It therefore
  11 enables a pedagogical illustration of optimal measurement points.
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  13 This function depends on the position :math:`x=(x_1,x_2)\in\Omega=[0.1,0.9]^2`
  14 in the 2D plane, and on the parameter
  15 :math:`\mu=(\mu_1,\mu_2)\in\mathcal{D}=[-1,-0.01]^2` of dimension 2 :
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  17 .. math:: G(x;\mu) = \frac{1}{\sqrt{(x_1 - \mu_1)^2 + (x_2 - \mu_2)^2 + 0.1^2}}
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  19 The function is represented on a regular :math:`\Omega_G` spatial grid of size
  20 20x20 points. It is available in ADAO built-in test models under the name
  21 ``TwoDimensionalInverseDistanceCS2010``, together with the spatial and
  22 parametric domain default definition. So here we first build a set of
  23 simulations of :math:`G`, then we look for the best locations for measurements
  24 to obtain an DEIM interpolation representation of the fields, by applying the
  25 DEIM-type decomposition algorithm to it, and then derive some simple
  26 illustrations. We choose to look for an arbitrary number ``nbmeasures`` of 15
  27 measurement locations.
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  29 It can be seen that the singular values decrease steadily down to numerical
  30 noise, indicating that around a hundred basis elements are needed to fully
  31 represent the information contained in the set of :math:`G` simulations.
  32 Furthermore, the optimal measurement points in the :math:`\Omega_G` domain are
  33 inhomogeneously distributed, favoring the spatial zone near the
  34 :math:`(0.1,0.1)` corner in which the :math:`G` function varies more.