doc/en/ref_algorithm_GradientTest.rst

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  19
  20    See http://www.salome-platform.org/ or email : webmaster.salome@opencascade.com
  21
  22    Author: Jean-Philippe Argaud, jean-philippe.argaud@edf.fr, EDF R&D
  23
  24 .. index:: single: GradientTest
  25 .. _section_ref_algorithm_GradientTest:
  26
  27 Checking algorithm "*GradientTest*"
  28 -----------------------------------
  29
  30 Description
  31 +++++++++++
  32
  33 This algorithm allows to check the quality of the adjoint operator, by
  34 calculating a residue with known theoretical properties. Different residue
  35 formula are available.
  36
  37 In any cases, one take :math:`\mathbf{dx}_0=Normal(0,\mathbf{x})` and
  38 :math:`\mathbf{dx}=\alpha*\mathbf{dx}_0`. :math:`F` is the calculation code.
  39
  40 "Taylor" residue
  41 ****************
  42
  43 One observe the residue coming from the Taylor development of the :math:`F`
  44 function, normalized by the value at the nominal point:
  45
  46 .. math:: R(\alpha) = \frac{|| F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) - F(\mathbf{x}) - \alpha * \nabla_xF(\mathbf{dx}) ||}{|| F(\mathbf{x}) ||}
  47
  48 If the residue is decreasing and the decrease change in :math:`\alpha^2` with
  49 respect to :math:`\alpha`, until a certain level after which the residue remains
  50 small and constant, it signifies that the :math:`F` is linear and that the
  51 residue is decreasing due to the error coming from :math:`\nabla_xF` term
  52 calculation.
  53
  54 "Norm" residue
  55 **************
  56
  57 One observe the residue based on the gradient approximation:
  58
  59 .. math:: R(\alpha) = \frac{|| F(\mathbf{x}+\alpha*\mathbf{dx}) - F(\mathbf{x}) ||}{\alpha}
  60
  61 which has to remain stable until the calculation precision is reached.
  62
  63 Optional and required commands
  64 ++++++++++++++++++++++++++++++
  65
  66 .. index:: single: CheckingPoint
  67 .. index:: single: ObservationOperator
  68 .. index:: single: AmplitudeOfInitialDirection
  69 .. index:: single: EpsilonMinimumExponent
  70 .. index:: single: InitialDirection
  71 .. index:: single: ResiduFormula
  72 .. index:: single: SetSeed
  73
  74 The general required commands, available in the editing user interface, are the
  75 following:
  76
  77   CheckingPoint
  78     *Required command*. This indicates the vector used as the state around which
  79     to perform the required check, noted :math:`\mathbf{x}` and similar to the
  80     background :math:`\mathbf{x}^b`. It is defined as a "*Vector*" type object.
  81
  82   ObservationOperator
  83     *Required command*. This indicates the observation operator, previously
  84     noted :math:`H`, which transforms the input parameters :math:`\mathbf{x}` to
  85     results :math:`\mathbf{y}` to be compared to observations
  86     :math:`\mathbf{y}^o`. Its value is defined as a "*Function*" type object or
  87     a "*Matrix*" type one. In the case of "*Function*" type, different
  88     functional forms can be used, as described in the section
  89     :ref:`section_ref_operator_requirements`. If there is some control
  90     :math:`U` included in the observation, the operator has to be applied to a
  91     pair :math:`(X,U)`.
  92
  93 The general optional commands, available in the editing user interface, are
  94 indicated in :ref:`section_ref_assimilation_keywords`. In particular, the
  95 optional command "*AlgorithmParameters*" allows to choose the specific options,
  96 described hereafter, of the algorithm. See
  97 :ref:`section_ref_options_AlgorithmParameters` for the good use of this command.
  98
  99 The options of the algorithm are the following:
 100
 101   AmplitudeOfInitialDirection
 102     This key indicates the scaling of the initial perturbation build as a vector
 103     used for the directional derivative around the nominal checking point. The
 104     default is 1, that means no scaling.
 105
 106   EpsilonMinimumExponent
 107     This key indicates the minimal exponent value of the power of 10 coefficient
 108     to be used to decrease the increment multiplier. The default is -8, and it
 109     has to be between 0 and -20. For example, its default value leads to
 110     calculate the residue of the scalar product formula with a fixed increment
 111     multiplied from 1.e0 to 1.e-8.
 112
 113   InitialDirection
 114     This key indicates the vector direction used for the directional derivative
 115     around the nominal checking point. It has to be a vector. If not specified,
 116     this direction defaults to a random perturbation around zero of the same
 117     vector size than the checking point.
 118
 119   ResiduFormula
 120     This key indicates the residue formula that has to be used for the test. The
 121     default choice is "Taylor", and the possible ones are "Taylor" (residue of
 122     the Taylor development of the operator, which has to decrease with the
 123     square power of the perturbation) and "Norm" (residue obtained by taking the
 124     norm of the Taylor development at zero order approximation, which
 125     approximate the gradient, and which has to remain constant).
 126
 127   SetSeed
 128     This key allow to give an integer in order to fix the seed of the random
 129     generator used to generate the ensemble. A convenient value is for example
 130     1000. By default, the seed is left uninitialized, and so use the default
 131     initialization from the computer.
 132
 133 See also
 134 ++++++++
 135
 136 References to other sections:
 137   - :ref:`section_ref_algorithm_FunctionTest`
 138   - :ref:`section_ref_algorithm_TangentTest`
 139   - :ref:`section_ref_algorithm_AdjointTest`