doc/doxygen/input/interpolation/barycoords.dox

   1 /*!
   2 \page barycoords Barycentric coordinates algorithm
   3
   4 Computation of barycentric coordinates is used to fill interpolation
   5 matrix in case of P1 and P1d types of interpolation. Computation of
   6 barycentric coordinates consists in finding weights of vertices
   7 bearing values within the cell. The cell is triangular in 2D space and
   8 tetrahedral in 3D space.
   9
  10 Input of the algorithm include:
  11 - coordinates of cell vertices (p1...pn),
  12 - coordinates of a barycentre of cells intersection (b),
  13 <br>where n is number of vertices which is either 3 or 4.
  14
  15 Purpose is to find coefficients a1...an so that
  16 - (a1*p1+...+an*pn)=b and
  17 - (a1+...+an)=1.0
  18
  19 Combining the last two expressions we get an equation in matrix form
  20 a * T = ( b - pn )
  21 where
  22 - a is a vector of coefficients a1...an
  23 - b is a vector of cartesian coordinates of barycentre
  24 - T is a matrix expressed via cartesian coordinates of vertices as
  25 <br>in 2D case <pre>
  26 | x1-x3 x2-x3 |
  27 | y1-y3 y2-y3 |</pre>
  28 in 3D case <pre>
  29 | x1-x4 x2-x4 x3-x4 |
  30 | y1-y4 y2-y4 y3-y4 |
  31 | z1-z4 z2-z4 z3-z4 |</pre>
  32
  33 In 2D case solution is found by inverting T which is trivial: a = T^(-1) * ( b - pn )
  34
  35 In 3D case we use Gaussian elimination algorithm. First we use elementary
  36 row operations to transform T into upper triangular form and
  37 then perform back substitution to find coefficients a.
  38
  39 */