CoreFlows/Documentation/numericalPage.dox

   1 /*!
   2 \page numericalPage The numerical methods
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   5 CoreFlows proposes a variety of finite volume methods (see \ref leveque for an introduction). The method  can be explicit or implicit (enum \ref TimeScheme), and the convection fluxes can be approximated using the  \ref roe,  \ref vfroe or \ref vffc formulations (enum \ref NonLinearFormulation).
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   7 The basic method for fluid models is the \ref roe scheme with entropic correction (see \ref kieu) and source upwinding (see\ref wbsourceterms). In order to increase precision it is possible to use centered, staggered, pressureCorrection or lowMach schemes through the enum \ref SpaceScheme.
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   9 The finite volume discretisation allows an easy handling of general geometries and meshes generated by \ref salome .
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  11 Explicit schemes are used in general for fast dynamics solved with small time steps while implicit schemes allow the use of large time step to quickly reach the stationary regime. The implicit schemes result in nonlinear systems that are solved using a Newton type method.
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  13 The upwind scheme is the basic scheme but options are available to use a centered scheme (second order in space) or entropic corrections.
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  15 Our models can be written in generic form as a nonlinear system of balance laws:
  16
  17 \f{eqnarray*}
  18
  19 \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\mathcal{F}^{conv}(U)\right)+\nabla \cdot \left(\mathcal{F}^{diff}(U)\right) = 0, \label{equationnNS}
  20 \f}
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  23 where
  24 -\f$U\f$ is the vector of conservative unknowns,
  25 -\f$\mathcal{F}^{conv}\f$ is the convective flux
  26 - and \f$\mathcal{F}^{diff}\f$ the diffusive flux.
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  28 We decompose the computational domain into \f$N\f$ disjoint cells \f$C_i\f$ with volume \f$v_i\f$.
  29 + Two neighboring cells \f$C_i\f$ and \f$C_j\f$ have a common boundary \f$\partial C_{ij}\f$ with area \f$s_{ij}\f$.
  30 + We denote \f$N(i)\f$ the set of neighbors of a given cell \f$C_i\f$ and \f$\vec n_{ij}\f$ the exterior unit normal vector of \f$\partial C_{ij}\f$ .
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  32 Integrating the system (\ref NStokesEq) over \f$C_{i}\f$ and setting \f$U_i(t)=  \frac{1}{v_i} \int_{C_i} U(x,t) dx\f$, the semi-discrete equations can be written:
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  34 \f{eqnarray*}
  35  \frac{\mathrm{d} U_i}{\mathrm{d} t} + \sum_{j \in N(i)} \frac{s_{ij}}{v_i}\left(\overrightarrow \Phi^{conv}_{ij} +  \overrightarrow{\Phi}^{diff}_{ij}\right)= S_i(U,x).\label{eq:numer scheme}
  36 \f}
  37 with:
  38 - \f$\overrightarrow{\Phi}^{con}_{ij}= \frac{1}{s_{ij}}\int_{\partial C_{ij}}\mathcal F^{conv}(U).\vec n_{ij}ds \f$,
  39 - \f$\overrightarrow \Phi^{diff}_{ij}= \frac{1}{s_{ij}}\int_{\partial C_{ij}}\mathcal {F}^{diff}(U).\vec n_{ij}ds \f$
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  41 To approximate the convection numerical flux \f$\overrightarrow \Phi^{conv}_{ij}\f$ we solve an  approximate Riemann problem at the interface \f$\partial C_{ij}\f$. There are three possible formulations for the convection fluxes.
  42 - Using the \ref roe local linearisation of the fluxes, we obtain the following formula:
  43 \f{eqnarray*}
  44 \overrightarrow{\Phi}^{conv, Roe}_{ij}&= &\frac{\mathcal{F}^{conv}(U_i) + \mathcal{F}^{conv}(U_j)}{2} \vec{n}_{ij}- \mathcal{D}(U_i,U_j) \frac{U_j-U_i}{2}\\
  45 &=&\mathcal{F}^{conv}(U_i) \vec{n}_{ij} + A^-(U_i,U_j) (U_j - U_i),\label{eq:flux roe}
  46 \f}
  47 - Using the \ref vfroe local linearisation of the fluxes, we obtain the following formula:
  48 \f{eqnarray*}
  49 \overrightarrow{\Phi}^{conv, VFRoe}_{ij}&= &\mathcal{F}^{conv}\left(\frac{U_i + U_j}{2} - \mathcal{D}(U_i,U_j) \frac{U_j-U_i}{2}\right)\vec{n}_{ij},\label{eq:flux vfroe}
  50 \f}
  51 - Using the \ref vffc local linearisation of the fluxes, we obtain the following formula:
  52 \f{eqnarray*}
  53 \overrightarrow{\Phi}^{conv, VFFC}_{ij}&= &\frac{\mathcal{F}^{conv}(U_i) + \mathcal{F}^{conv}(U_j)}{2} \vec{n}_{ij}- \mathcal{D}(U_i,U_j) \frac{\mathcal{F}^{conv}(U_j)-\mathcal{F}^{conv}(U_i)}{2} \vec{n}_{ij},\label{eq:flux vffc}
  54 \f}
  55 where
  56 - \f$\mathcal{D}\f$ is an upwinding matrix,
  57 - \f$A(U_i,U_j)\f$ the Roe matrix
  58 - and \f$A^-= \frac{A - \mathcal{D}}{2}\f$.
  59
  60  The choice \f$\mathcal{D}= 0\f$ gives the \ref centered upwinding, \f$\mathcal{D}= |A|\f$ for the \ref roe formulation and  \f$\mathcal{D}= sign(A)\f$ for the \ref vfroe and \ref vffc formulations give the full \ref upwind upwinding. The \ref lowMach, \ref pressureCorrection and \ref staggered upwindings allow more precision for  Mach number flows.
  61
  62 The diffusion numerical flux \f$\overrightarrow\Phi_{ij}^{diff}\f$ is approximated on structured meshes using the formula:
  63 \f{eqnarray*}
  64 \overrightarrow \Phi_{ij}^{diff}= D (\frac{U_i+U_j}{2},\vec{n}_{ij})(U_j-U_i),\label{eq:flux diff}
  65 \f}
  66
  67 where
  68 -\f$D(U,\vec{n}_{ij})=\nabla\mathcal{F}^{diff}(U).\vec{n}_{ij}\f$ is the matrix of the diffusion tensor.
  69 \f$(\ref{eq:flux diff})\f$ is not accurate for highly non structured or non conforming meshes. However, since we are mainly interested in convection driven flows, we do not ask for a very precise scheme.
  70
  71 Finally, since \f$\sum_{j \in N(i)}\mathcal {F}^{conv}(U_i). \vec{n}_{ij}=0\f$, using \f$(\ref{eq:flux roe})\f$ and \f$(\ref{eq:flux diff})\f$ the equation \f$(\ref{eq:numer scheme})\f$ of the semi-discrete scheme becomes:
  72 \f{eqnarray*}
  73 \frac{\mathrm{d} U_{i}}{\mathrm{d} t} + \sum_{j\in N(i)} {\frac{s_{ij}}{v_i}\{(A^-+ D)(U_i,U_j)\}(U_j-U_i)} = S_i(U,x),\label{eq:reduced scheme}
  74 \f}
  75
  76 The source term in \f$(\ref{eq:reduced scheme})\f$ can be approximated using either a
  77 \f{eqnarray*}
  78  \textrm{ Centered source } S_i=S(U_i)\nonumber
  79 \f}
  80 or an
  81 \f{eqnarray*}
  82  \textrm{ Upwind source } S_i&=&\frac{1}{2}(Id-signe(A^{Roe}_{i,i+1}))\frac{S(U_i)+S(U_{i+1})}{2}\\
  83                               &&+\frac{1}{2}(Id+signe(A^{Roe}_{i-1,i}))\frac{S(U_{i-1})+S(U_i)}{2}.\nonumber
  84 \f}
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  86
  87
  88 \section ExplSchemes Explicit schemes
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  91 In explicit schemes, in order to compute the values \f$U_i^{n+1}\f$, the fluxes \f$\Phi^{conv}_{ij}\f$, \f$\Phi^{diff}_{ij}\f$ and the source term \f$S(U,x)\f$ in \f$(\ref{eq:numer scheme})\f$ are evaluated at time \f$n\f$ :
  92 \f{eqnarray*}
  93 \frac{U_{i}^{n+1} - U_{i}^{n}}{\Delta t} &+& \sum_{j\in N(i)} \frac{s_{ij}}{v_i}\left(\frac{1}{2}(\mathcal{F}^{conv}(U_i^n) + \mathcal{F}^{conv}(U_j^n)). \vec{n}_{ij}- \mathcal{D}(U_i^n,U_j^n,\vec{n}_{ij}) \frac{U_j^n-U_i^n}{2}\right)\\
  94 &+&\frac{s_{ij}}{v_i} D (\frac{U_i+U_j}{2},\vec{n}_{ij})(U_j-U_i)= S(U^n,x_i), \nonumber
  95 \f}
  96 or equivalently using \f$(\ref{eq:flux roe})\f$ and \f$(\ref{eq:flux diff})\f$
  97 \f{eqnarray*}
  98 \label{explicitscheme}
  99 \frac{U_{i}^{n+1} - U_{i}^{n}}{\Delta t} + \sum_{j\in N(i)} {\frac{s_{ij}}{v_i}\{(A^-+ D)(U_i^{n},U_j^{n},\vec{n}_{ij})\}(U^{n}_j-U^{n}_i)} =  S(U^n,x_i).
 100 \f}
 101
 102 From the system \f$(\ref{explicitscheme})\f$ we can obtain \f$U_i^{n+1}\f$ easily using matrix-vector products and vector sum.
 103 However the time step of explicit methods is constrained by the CFL condition for stability reasons.
 104
 105 \section ImplSchemes Implicit schemes
 106
 107
 108 In implicit schemes, in order to compute the values \f$U_i^{n+1}\f$, the fluxes \f$\Phi^{conv}_{ij}\f$, \f$\Phi^{diff}_{ij}\f$ and the source term \f$S(U,x)\f$ in \f$(\ref{eq:numer scheme})\f$ are evaluated at time \f$n+1\f$ :
 109 \f{eqnarray*}
 110 \frac{U_{i}^{n+1} - U_{i}^{n}}{\Delta t} &+& \sum_{j\in N(i)} \frac{s_{ij}}{v_i}\left(\frac{1}{2}(\mathcal{F}^{conv}(U_i^{n+1}) + \mathcal{F}^{conv}(U_j^{n+1})). \vec{n}_{ij}- \mathcal{D}(U_i^{n+1},U_j^{n+1},\vec{n}_{ij}) \frac{U_j^{n+1}-U_i^{n+1}}{2}\right)\\
 111 &+&\frac{s_{ij}}{v_i} D (\frac{U_i+U_j}{2},\vec{n}_{ij})(U_j-U_i) = S(U^{n+1},x_i),
 112 \f}
 113 or equivalently using \f$(\ref{eq:flux roe})\f$ and \f$(\ref{eq:flux diff})\f$
 114 \f{eqnarray*}
 115 \label{implicitscheme}
 116 \frac{U_{i}^{n+1} - U_{i}^{n}}{\Delta t} + \sum_{j\in N(i)} {\frac{s_{ij}}{v_i}\{(A^-+ D)(U_i^{n+1},U_j^{n+1},\vec{n}_{ij})\}(U^{n+1}_j-U^{n+1}_i)} =  S(U^{n+1},x_i).
 117 \f}
 118
 119 The system \f$(\ref{implicitscheme})\f$ is nonlinear. The computation of \f$U_i^n\f$ is more expensive but we can expect to use larger time steps than would be allowed with the explicit scheme.
 120
 121 We use the following Newton iterative method to obtain the required solutions:
 122 \f{eqnarray*}
 123 \frac{\delta U_i^{k+1}}{\Delta t}& + &\sum_{j \in N(i)} \frac{s_{ij}}{v_i} \left[( A^-+ D)(U_i^k,U_j^k) \right] \left(\delta U_j^{k+1}- \delta U_i^{k+1} \right)\\
 124 & = &- \frac{U^k_i-U^n_i}{\Delta t} - \sum_{j \in N(i)} \frac{s_{ij}}{v_i} \left[( A^-+ D)(U_i^k,U_j^k)\right] (U^k_j-U^k_i),
 125 \f}
 126 where :
 127 - \f$\delta U_i^{k+1} = U_i^{k+1} - U_i^{k}\f$ is the variation of the \f$k\f$-th iterate that approximate the solution at time \f$n+1\f$.
 128
 129 Defining the unknown vector \f$\mathcal U = (U_1,\dots,U_N)^t\f$, each Newton iteration for the computation of \f$\mathcal U\f$ at time step \f$n+1\f$ requires the numerical solution of the following linear system:
 130 \f{eqnarray*}
 131  \label{eq: linearsystem}
 132  \mathcal A(\mathcal U^k)\delta \mathcal U^{k+1} =  b(\mathcal U^n, \mathcal U^{k}).
 133 \f}
 134
 135
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 137 \section NumNSEqs Numerical scheme for the Navier-Stokes equations
 138
 139 For the Navier-Stokes equations \f$U=(\rho, \vec q, \rho E)^t\f$ and the fluxes in \f$(\ref{Navierstokes})\f$ write
 140 \f{eqnarray*}
 141 \mathcal{F}^{conv}(U)= \left(\begin{array}{c}
 142 \vec{q} \\
 143 \vec{q} \otimes \frac{\vec{q}}{\rho} + p {I}_d \\
 144 \left( \rho E + p \right) \frac{\vec{q}}{\rho}
 145 \end{array}
 146  \right) ,\;
 147 \mathcal{F}^{diff}(U)=\left(\begin{array}{c}
 148 0\\
 149 -\nu \vec \nabla (\frac{\vec{q}}{\rho}) \\
 150 -\lambda \vec \nabla T
 151 \end{array}
 152  \right).
 153 \f}
 154
 155 For the Euler equations, we can build the \ref roe matrix \f$A(U_i,U_j)\f$ explicitly using the Roe averaged state \f$U_{Roe}(U_i,U_j)=(\tilde\rho, \tilde \rho\tilde u, \tilde\rho \tilde E=\tilde \rho\tilde H-\tilde p)^t\f$ defined by
 156  \f{eqnarray*}
 157 \tilde{\rho}&=&\sqrt{\rho_{i}\rho_{j}}\\
 158 \tilde{u}&=&\frac{\sqrt{\rho_{i}}u_{i}+\sqrt{\rho_{j}}u_{j}}{\sqrt{\rho_{i}}+\sqrt{\rho_{j}}}\\
 159 \tilde{H}&=&\frac{\sqrt{\rho_{i}}H_{i}+\sqrt{\rho_{j}}H_{j}}{\sqrt{\rho_{i}}+\sqrt{\rho_{j}}}.
 160 \f}
 161 The Roe matrix writes (see \ref leveque)
 162 \f{eqnarray*}
 163 A_{Roe}(U_i,U_j)=\nabla\mathcal{F}^{conv}(U_{Roe}(U_i,U_j))\vec{n}_{ij}=
 164 \left(\begin{array}{ccc}
 165        0  & 1 & 0\\
 166        \tilde{\chi}+(\frac{1}{2}\tilde{\kappa} -1)\tilde{u}^2 & (2-\tilde{\kappa})\tilde{u} & \tilde{\kappa}\\
 167        (\tilde{\chi}+\frac{1}{2}\tilde{\kappa} \tilde{u}^2- \tilde{H})\tilde{u} & \tilde{H}-\tilde{\kappa} \tilde{u}^2 & (\tilde{\kappa}+1)\tilde{u}
 168       \end{array}\right)\label{eq:matrice de roe F4}
 169 \f}
 170
 171 The diffusion numerical flux \f$\overrightarrow\Phi_{ij}^{diff}\f$ is approximated with the formula:
 172 \f{eqnarray*}
 173 \overrightarrow \Phi_{ij}^{diff}= D (\frac{U_i+U_j}{2})(U_j-U_i)
 174 \f}
 175  with the matrix
 176 \f{eqnarray*}
 177 D(U)=
 178 \left(
 179 \begin{array}{ccc}
 180  0&\vec 0& 0\\
 181 \frac{\nu \vec q}{\rho^2}& \frac{-\nu}{\rho} I_d&0\\
 182 \frac{\lambda}{c_v}\left(\frac{c_vT}{\rho}-\frac{||\vec q||^2}{2\rho^3}\right)&\quad \frac{{\vec q}^{\;t} \lambda}{\rho^2 c_v}&\quad-\frac{\lambda}{c_v  \rho}
 183 \end{array}
 184 \right) , \f}
 185 where \f$c_v\f$ is the heat capacity at constant volume.
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