CoreFlows/Documentation/PhysicalModels/TwoPhasePage.md

   1 The two-phase flow models
   2 =========================
   3
   4 We present the homogeneised two phase flow models implemented in CoreFlows.
   5
   6 This models are obtained by averaging the balance equations for each separated phase or for the mixture, using space, time or ensemble averaged quantities (\ref ishii and \ref Drew ).
   7
   8 \ref The drift model is used in the thermal hydraulics softwares \ref flica4 and \ref flocal, whilst the two-fluid models are used in \ref cathare , \ref neptuneCFD, \ref CobraTF , \ref relap5 .
   9
  10
  11 The Drift model
  12 ---------------
  13
  14 The drift model is a system of four nonlinear equations taking the following conservative form
  15 $$
  16 \left\{\begin{array}{lll}
  17          \partial_t(\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l{}^t\vec{u}_l)&=0\\
  18          \partial_t(\alpha_g\rho_g)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g{}^t\vec{u}_g)&=\Gamma_g(h_m,\Phi)\\
  19          \partial_t(\alpha_g\rho_g\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g\vec{u}_g\otimes\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l\otimes\vec{u}_l+p {I}_d)&=\rho_m\vec{g}-K_g\alpha_g\rho_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g-K_l\alpha_l\rho_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l\\
  20          \partial_t(\alpha_g\rho_g E_g+\alpha_l\rho_l E_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g H_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l H_l{}^t\vec{u}_l)&=\Phi+\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-K_g\alpha_g\rho_g||\vec{u}_g||^3-K_l\alpha_l\rho_l||\vec{u}_l||^3
  21         \end{array}\right.,
  22 $$
  23 where the total energy and total enthalpy are defined by
  24 $$
  25 E_k=e_k+\frac{1}{2}|\vec{u}_k|^2,\quad H_k=h_k+\frac{1}{2}|\vec{u}_k|^2,\qquad k=v,l,
  26 $$
  27 where $e_k$ is the internal energy, and $h_k=e_k+\frac{p}{\rho_k}$ the enthalpy associated to phase $k$ and
  28 $$
  29 \begin{array}{lll}
  30 \rho_m&=&\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l\\
  31 \vec{u}_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}\\
  32 h_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g h_g+\alpha_l\rho_l h_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}.
  33 \end{array}
  34 $$
  35 We need a drift correlation for the relative velocity:
  36 $$
  37 \vec{u}_r=\vec{u}_g-\vec{u}_l=\vec{f}_r(c_g,\vec{u}_m,\rho_m).
  38 $$
  39 The phase change is modeled using the formula
  40 $$
  41  \Gamma_g=\left\{\begin{array}{cc}
  42          \frac{\Phi}{\mathcal{L}}&\textrm{ if } h_l^{sat}\leq h< h_g^{sat} \textrm{ and } 0<\alpha_g<1\\[1.5ex]
  43          0& \textrm{ otherwise }
  44         \end{array}\right..
  45 $$
  46 The parameters $\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k $ and $\Phi$ can be set by the user.
  47
  48 [More details about the drift model are available here](TwoPhase/DriftModelPage.ipynb)
  49
  50
  51 The isothermal two-fluid model
  52 -----------------------------------------------
  53
  54 The model consists in the phasic mass and momentum balance equations.
  55
  56 The main unknowns are $\alpha$, $P$, $\vec{u}_g$, $\vec{u}_l$. The model uses stiffened gas laws $p_g(\rho_g)$ and  $p_l(\rho_l)$ for a contant temperature $T_0$ provided by the user.
  57
  58 The subscript $k$ stands for $l$ for the liquid phase and $g$ for the gas phase. The common
  59 averaged pressure of the two phases is denoted by $p$.
  60
  61 In our model, pressure equilibrium between the two phases is postulated, and the resulting system to solve is:
  62 $$
  63 \left\{
  64 \begin{array}{ccll}
  65  \frac{\partial m_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot \vec{q}_g &= 0,\\[1.5ex]
  66 \frac{\partial m_l}{\partial t} &+ &\nabla \cdot \vec{q}_l &= 0,\\[1.5ex]
  67 \frac{\partial \vec{q}_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_g\otimes\frac{\vec{q}_g}{m_g})+ \alpha_g \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  68  &+&\Delta p \nabla \alpha_g -\nu_g\Delta \vec{u}_g &= m_g\vec{g}-K_gm_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g\\[1.5ex]
  69 \frac{\partial \vec{q}_l}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_l\otimes\frac{\vec{q}_l}{m_l})+ \alpha_l \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  70 &+&\Delta p \nabla \alpha_l -\nu_l\Delta \vec{u}_l &= m_l\vec{g}-K_lm_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l,\\
  71 \end{array}
  72 \right.
  73 $$
  74
  75 Here :
  76 - $\nu_k$ is the viscosity of phase $k$,
  77 - $\Delta p$ denotes the pressure default $p-p_k$ between the bulk average pressure and the interfacial average pressure.
  78
  79 where
  80 $$
  81 \left\{\begin{array}{clc}
  82         \alpha_g +\alpha_l &=& 1 \\[1.5ex]
  83         m_k &=& \alpha_k \rho_k \\[1.5ex]
  84         \vec{q}_k &=& \alpha_k \rho_k \vec{u}_k \\[1.5ex]
  85                 \end{array}\right..
  86 $$
  87
  88 The parameters $\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k $ and $\Phi$ can be set by the user.
  89
  90 [More details about the isothermal two-fluid model are available here](IsothermalPage.ipynb)
  91
  92
  93 The five equation two-fluid model
  94 -----------------------------------------------
  95
  96
  97 The model consists in the phasic mass and momentum balance equations and one mixture total energy balance equation.
  98
  99 The main unknowns are $\alpha$,$P$,$\vec{u}_g$,$\vec{u}_l$ and $T=T_g=T_l$.
 100
 101 The model uses stiffened gas laws $p_g(\rho_g,T)$ and  $p_l(\rho_l,T)$.
 102
 103 $$
 104 \left\{
 105 \begin{array}{ccll}
 106  \frac{\partial m_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot \vec{q}_g &= \Gamma_g(h_g,\Phi),\\[1.5ex]
 107 \frac{\partial m_l}{\partial t} &+ &\nabla \cdot \vec{q}_l &= \Gamma_l(h_l,\Phi),\\[1.5ex]
 108 \frac{\partial \vec{q}_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_g\otimes\frac{\vec{q}_g}{m_g})+ \alpha_g \nabla p&\\[1.5ex]
 109  &+&\Delta p \nabla \alpha_g -\nu_g(\Delta \frac{\vec{q}_g}{m_g}) &= m_g\vec{g}-K_gm_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g\\[1.5ex]
 110 \frac{\partial \vec{q}_l}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_l\otimes\frac{\vec{q}_l}{m_l})+ \alpha_l \nabla p&\\[1.5ex]
 111 &+&\Delta p \nabla \alpha_l -\nu_l(\Delta \frac{\vec{q}_l}{m_l}) &= m_l\vec{g}-K_lm_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l,\\[1.5ex]
 112 \partial_t\rho_mE_m&+&\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g H_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l H_l{}^t\vec{u}_l)&=\Phi+\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-K_gm_g||\vec{u}_g||^3-K_lm_l||\vec{u}_l||^3
 113 \end{array}
 114 \right. \nonumber
 115 $$
 116 where
 117 $$
 118 \begin{array}{ccl}
 119 \rho_m&=&\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l\\
 120  E_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g E_g+\alpha_l\rho_l E_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}.
 121 \end{array}
 122 $$
 123
 124 The phase change is modeled using the formula
 125
 126 $$
 127 \Gamma_g=\left\{\begin{array}{cc}
 128          \frac{\Phi}{\mathcal{L}}&\textrm{ if } h_l^{sat}\leq h< h_g^{sat} \textrm{ and } 0<\alpha_g<1\\[1.5ex]
 129          0& \textrm{ otherwise }
 130         \end{array}\right..
 131 $$
 132
 133 The parameters $\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k $ and $\Phi$ can be set by the user.
 134
 135 [More details about the five equation two-fluid model are available here](TwoPhase/FiveEqPage.ipynb)
 136