CoreFlows/Documentation/PhysicalModels/TwoPhasePage.dox

   1 /*!
   2 \page twophasePage The two-phase flow models
   3
   4 [TOC]
   5
   6 We present the homogeneised two phase flow models implemented in CoreFlows.
   7
   8 This models are obtained by averaging the balance equations for each separated phase or for the mixture, using space, time or ensemble averaged quantities (\ref ishii and \ref Drew ).
   9
  10 \ref The drift model is used in the thermal hydraulics softwares \ref flica4 and \ref flocal, whilst the two-fluid models are used in \ref cathare , \ref neptuneCFD, \ref CobraTF , \ref relap5 .
  11
  12
  13 * 1- \subpage DriftModelPage "The Drift model"
  14
  15 The drift model is a system of four nonlinear equations taking the following conservative form
  16 \f{eqnarray*}
  17 \left\{\begin{array}{lll}
  18          \partial_t(\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l{}^t\vec{u}_l)&=0\\
  19          \partial_t(\alpha_g\rho_g)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g{}^t\vec{u}_g)&=\Gamma_g(h_m,\Phi)\\
  20          \partial_t(\alpha_g\rho_g\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g\vec{u}_g\otimes\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l\otimes\vec{u}_l+p {I}_d)&=\rho_m\vec{g}-K_g\alpha_g\rho_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g-K_l\alpha_l\rho_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l\\
  21          \partial_t(\alpha_g\rho_g E_g+\alpha_l\rho_l E_l)&+\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g H_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l H_l{}^t\vec{u}_l)&=\Phi+\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-K_g\alpha_g\rho_g||\vec{u}_g||^3-K_l\alpha_l\rho_l||\vec{u}_l||^3
  22         \end{array}\right.,
  23 \f}
  24 where the total energy and total enthalpy are defined by
  25 \f{eqnarray*}
  26 E_k=e_k+\frac{1}{2}|\vec{u}_k|^2&,&\quad H_k=h_k+\frac{1}{2}|\vec{u}_k|^2,\qquad k=v,l,
  27 \f}
  28 where \f$e_k\f$ is the internal energy, and \f$h_k=e_k+\frac{p}{\rho_k}\f$ the enthalpy associated to phase \f$k\f$ and
  29 \f{eqnarray*}
  30 \rho_m&=&\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l\\
  31 \vec{u}_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l\vec{u}_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}\\
  32 h_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g h_g+\alpha_l\rho_l h_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}.
  33 \f}
  34 We need a drift correlation for the relative velocity:
  35 \f{eqnarray*}
  36 \vec{u}_r=\vec{u}_g-\vec{u}_l=\vec{f}_r(c_g,\vec{u}_m,\rho_m).
  37 \f}
  38 The phase change is modeled using the formula
  39 \f{eqnarray*}
  40  \Gamma_g=\left\{\begin{array}{cc}
  41          \frac{\Phi}{\mathcal{L}}&\textrm{ if } h_l^{sat}\leq h< h_g^{sat} \textrm{ and } 0<\alpha_g<1\\[1.5ex]
  42          0& \textrm{ otherwise }
  43         \end{array}\right..
  44 \f}
  45 The parameters \f$\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k\f$ and \f$\Phi\f$ can be set by the user.
  46
  47 \subpage DriftModelPage "More details about the drift model are available here"
  48
  49
  50 -----------------------------------------------
  51
  52 * 2- \subpage IsothermalPage "The isothermal two-fluid model"
  53
  54 The model consists in the phasic mass and momentum balance equations.
  55
  56 The main unknowns are \f$\alpha\f$, \f$P\f$, \f$\vec{u}_g\f$, \f$\vec{u}_l\f$. The model uses stiffened gas laws \f$p_g(\rho_g)\f$ and  \f$p_l(\rho_l)\f$ for a contant temperature \f$T_0\f$ provided by the user.
  57
  58 The subscript \f$k\f$ stands for \f$l\f$ for the liquid phase and \f$g\f$ for the gas phase. The common
  59 averaged pressure of the two phases is denoted by \f$p\f$.
  60
  61 In our model, pressure equilibrium between the two phases is postulated, and the resulting system to solve is:
  62 \f{eqnarray*}
  63 \left\{
  64 \begin{array}{ccll}
  65  \frac{\partial m_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot \vec{q}_g &= 0,\\[1.5ex]
  66 \frac{\partial m_l}{\partial t} &+ &\nabla \cdot \vec{q}_l &= 0,\\[1.5ex]
  67 \frac{\partial \vec{q}_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_g\otimes\frac{\vec{q}_g}{m_g})+ \alpha_g \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  68  &+&\Delta p \nabla \alpha_g -\nu_g\Delta \vec{u}_g &= m_g\vec{g}-K_gm_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g\\[1.5ex]
  69 \frac{\partial \vec{q}_l}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_l\otimes\frac{\vec{q}_l}{m_l})+ \alpha_l \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  70 &+&\Delta p \nabla \alpha_l -\nu_l\Delta \vec{u}_l &= m_l\vec{g}-K_lm_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l,\\
  71 \end{array}
  72 \right. \label{eq: isentropictwophase}
  73 \f}
  74
  75 Here :
  76 -\f$\nu_k\f$ is the viscosity of phase \f$k\f$,
  77 -\f$\Delta p\f$ denotes the pressure default \f$p-p_k\f$ between the bulk average pressure and the interfacial average pressure.
  78
  79 where \f$
  80  =\left\{\begin{array}{clc}
  81         \alpha_g +\alpha_l &=& 1 \\[1.5ex]
  82         m_k &=& \alpha_k \rho_k \\[1.5ex]
  83         \vec{q}_k &=& \alpha_k \rho_k \vec{u}_k \\[1.5ex]
  84
  85         \end{array}\right..
  86 \f$
  87
  88 The parameters \f$\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k\f$ and \f$\Phi\f$ can be set by the user.
  89
  90 \subpage IsothermalPage " More details about the isothermal two-fluid model are available here"
  91
  92 -----------------------------------------------
  93
  94
  95 * 3- \subpage FiveEqPage "The five equation two-fluid model"
  96
  97
  98 The model consists in the phasic mass and momentum balance equations and one mixture total energy balance equation.
  99
 100 The main unknowns are \f$\alpha\f$,\f$P\f$,\f$\vec{u}_g\f$,\f$\vec{u}_l\f$ and \f$T=T_g=T_l\f$.
 101
 102 The model uses stiffened gas laws \f$p_g(\rho_g,T)\f$ and  \f$p_l(\rho_l,T)\f$.
 103
 104 \f{eqnarray*}
 105 \left\{
 106 \begin{array}{ccll}
 107  \frac{\partial m_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot \vec{q}_g &= \Gamma_g(h_g,\Phi),\\[1.5ex]
 108 \frac{\partial m_l}{\partial t} &+ &\nabla \cdot \vec{q}_l &= \Gamma_l(h_l,\Phi),\\[1.5ex]
 109 \frac{\partial \vec{q}_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_g\otimes\frac{\vec{q}_g}{m_g})+ \alpha_g \nabla p&\\[1.5ex]
 110  &+&\Delta p \nabla \alpha_g -\nu_g(\Delta \frac{\vec{q}_g}{m_g}) &= m_g\vec{g}-K_gm_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g\\[1.5ex]
 111 \frac{\partial \vec{q}_l}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_l\otimes\frac{\vec{q}_l}{m_l})+ \alpha_l \nabla p&\\[1.5ex]
 112 &+&\Delta p \nabla \alpha_l -\nu_l(\Delta \frac{\vec{q}_l}{m_l}) &= m_l\vec{g}-K_lm_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l,\\[1.5ex]
 113 \partial_t\rho_mE_m&+&\nabla\cdot(\alpha_g\rho_g H_g{}^t\vec{u}_g+\alpha_l\rho_l H_l{}^t\vec{u}_l)&=\Phi+\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-K_gm_g||\vec{u}_g||^3-K_lm_l||\vec{u}_l||^3
 114 \end{array}
 115 \right. \nonumber
 116 \f}
 117 where
 118 \f{eqnarray*}
 119 \rho_m&=&\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l\\
 120  E_m&=&\frac{\alpha_g\rho_g E_g+\alpha_l\rho_l E_l}{\alpha_g\rho_g+\alpha_l\rho_l}.
 121 \f}
 122
 123 The phase change is modeled using the formula
 124
 125 \f{eqnarray*}
 126  \Gamma_g=\left\{\begin{array}{cc}
 127          \frac{\Phi}{\mathcal{L}}&\textrm{ if } h_l^{sat}\leq h< h_g^{sat} \textrm{ and } 0<\alpha_g<1\\[1.5ex]
 128          0& \textrm{ otherwise }
 129         \end{array}\right..
 130 \f}
 131
 132 The parameters \f$\lambda_k, \nu_k,\vec g, K_k\f$ and \f$\Phi\f$ can be set by the user.
 133
 134 \subpage FiveEqPage "More details about the five equation two-fluid model are available here"
 135
 136 */