CoreFlows/Documentation/PhysicalModels/TwoPhase/IsothermalPage.md

   1 The isothermal two-fluid model
   2 ==============================
   3
   4 The model consists in the phasic mass and momentum balance equations.
   5
   6 The main unknowns are $\alpha$, $P$, $\vec{u}_g$, $\vec{u}_l$. The model uses stiffened gas laws $p_g(\rho_g)$ and  $p_l(\rho_l)$ valid around the saturation points $(P=1 bar, T=373K)$ or $(P=155 bars, T=618K)$ depending on the value of the enum \ref pressureEstimate.
   7
   8 The subscript $k$ stands for $l$ for the liquid phase and $g$ for the gas phase. The common
   9 averaged pressure of the two phases is denoted by $p$.
  10
  11 In our model, pressure equilibrium between the two phases is postulated, and the resulting system to solve is:
  12 $$
  13 \left\{
  14 \begin{array}{ccll}
  15  \frac{\partial m_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot \vec{q}_g &= 0,\\[1.5ex]
  16 \frac{\partial m_l}{\partial t} &+ &\nabla \cdot \vec{q}_l &= 0,\\[1.5ex]
  17 \frac{\partial \vec{q}_g}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_g\otimes\frac{\vec{q}_g}{m_g})+ \alpha_g \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  18  &+&\Delta p \nabla \alpha_g -\nu_g\Delta \vec{u}_g &= m_g\vec{g}-K\rho_m||\vec{u}_g-\vec{u}_l||(\vec{u}_g-\vec{u}_l)-K_s\delta(x)m_g||\vec{u}_g||\vec{u}_g\\[1.5ex]
  19 \frac{\partial \vec{q}_l}{\partial t}& +& \nabla \cdot (\vec{q}_l\otimes\frac{\vec{q}_l}{m_l})+ \alpha_l \vec\nabla p&\\[1.5ex]
  20 &+&\Delta p \nabla \alpha_l -\nu_l\Delta \vec{u}_l &= m_l\vec{g}-K\rho_m||\vec{u}_l-\vec{u}_g||(\vec{u}_l-\vec{u}_g)-K_s\delta(x)m_l||\vec{u}_l||\vec{u}_l\\
  21 \end{array}
  22 \right.
  23 $$
  24
  25 Here :
  26 - $\nu_k$ is the viscosity of phase $k$, set by [IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setViscosity
  27 - $\Delta p$ denotes the pressure default $p-p_k$ between the bulk average pressure and the interfacial average pressure.
  28 - $\vec g$ the gravity vector ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setGravity)
  29 - $K$ the interphase friction coefficient ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setDragCoeffs),
  30 - $K_s(\vec x)$ the singular friction function, $\delta_s(\vec x)$ the Dirac delta function with support on the set $s$ ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setPressureLossField).
  31
  32 where
  33 $$
  34  \left\{\begin{array}{clc}
  35         \alpha_g +\alpha_l &=& 1 \\[1.5ex]
  36         m_k &=& \alpha_k \rho_k \\[1.5ex]
  37         \vec{q}_k &=& \alpha_k \rho_k \vec{u}_k
  38         \end{array}\right..
  39 $$
  40
  41
  42 The class : [IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx) implements the isentropic two-fluid model
  43
  44 \subpage ExampleIsothermalPage "Here are C and Python example scripts using the isothermal two-fluid model"
  45