CoreFlows/Documentation/PhysicalModels/TwoPhase/IsothermalPage.ipynb

   1 {
   2  "cells": [
   3   {
   4    "cell_type": "code",
   5    "execution_count": 3,
   6    "metadata": {},
   7    "outputs": [
   8     {
   9      "data": {
  10       "text/markdown": [
  11        "The isothermal two-fluid model\n",
  12        "==============================\n",
  13        "\n",
  14        "The model consists in the phasic mass and momentum balance equations.\n",
  15        "\n",
  16        "The main unknowns are $\\alpha$, $P$, $\\vec{u}_g$, $\\vec{u}_l$. The model uses stiffened gas laws $p_g(\\rho_g)$ and  $p_l(\\rho_l)$ valid around the saturation points $(P=1 bar, T=373K)$ or $(P=155 bars, T=618K)$ depending on the value of the enum \\ref pressureEstimate.\n",
  17        "\n",
  18        "The subscript $k$ stands for $l$ for the liquid phase and $g$ for the gas phase. The common\n",
  19        "averaged pressure of the two phases is denoted by $p$. \n",
  20        "\n",
  21        "In our model, pressure equilibrium between the two phases is postulated, and the resulting system to solve is:\n",
  22        "$$\n",
  23        "\\left\\{\n",
  24        "\\begin{array}{ccll}\n",
  25        " \\frac{\\partial m_g}{\\partial t}& +& \\nabla \\cdot \\vec{q}_g &= 0,\\\\[1.5ex]\n",
  26        "\\frac{\\partial m_l}{\\partial t} &+ &\\nabla \\cdot \\vec{q}_l &= 0,\\\\[1.5ex]\n",
  27        "\\frac{\\partial \\vec{q}_g}{\\partial t}& +& \\nabla \\cdot (\\vec{q}_g\\otimes\\frac{\\vec{q}_g}{m_g})+ \\alpha_g \\vec\\nabla p&\\\\[1.5ex] \n",
  28        " &+&\\Delta p \\nabla \\alpha_g -\\nu_g\\Delta \\vec{u}_g &= m_g\\vec{g}-K\\rho_m||\\vec{u}_g-\\vec{u}_l||(\\vec{u}_g-\\vec{u}_l)-K_s\\delta(x)m_g||\\vec{u}_g||\\vec{u}_g\\\\[1.5ex]\n",
  29        "\\frac{\\partial \\vec{q}_l}{\\partial t}& +& \\nabla \\cdot (\\vec{q}_l\\otimes\\frac{\\vec{q}_l}{m_l})+ \\alpha_l \\vec\\nabla p&\\\\[1.5ex]\n",
  30        "&+&\\Delta p \\nabla \\alpha_l -\\nu_l\\Delta \\vec{u}_l &= m_l\\vec{g}-K\\rho_m||\\vec{u}_l-\\vec{u}_g||(\\vec{u}_l-\\vec{u}_g)-K_s\\delta(x)m_l||\\vec{u}_l||\\vec{u}_l\\\\\n",
  31        "\\end{array}\n",
  32        "\\right.\n",
  33        "$$\n",
  34        "\n",
  35        "Here :\n",
  36        "- $\\nu_k$ is the viscosity of phase $k$, set by [IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setViscosity\n",
  37        "- $\\Delta p$ denotes the pressure default $p-p_k$ between the bulk average pressure and the interfacial average pressure.\n",
  38        "- $\\vec g$ the gravity vector ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setGravity)\n",
  39        "- $K$ the interphase friction coefficient ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setDragCoeffs),\n",
  40        "- $K_s(\\vec x)$ the singular friction function, $\\delta_s(\\vec x)$ the Dirac delta function with support on the set $s$ ([IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx)::setPressureLossField).\n",
  41        "\n",
  42        "where \n",
  43        "$$ \n",
  44        " \\left\\{\\begin{array}{clc}\n",
  45        "\t\\alpha_g +\\alpha_l &=& 1 \\\\[1.5ex]\n",
  46        "\tm_k &=& \\alpha_k \\rho_k \\\\[1.5ex]\n",
  47        "\t\\vec{q}_k &=& \\alpha_k \\rho_k \\vec{u}_k\n",
  48        "\t\\end{array}\\right..\n",
  49        "$$\n",
  50        "\n",
  51        "\n",
  52        "The class : [IsothermalTwoFluid](../../../Models/inc/IsothermalTwoFluid.hxx) implements the isentropic two-fluid model  \n",
  53        "\n",
  54        "\\subpage ExampleIsothermalPage \"Here are C and Python example scripts using the isothermal two-fluid model\"\t\n",
  55        "\n"
  56       ],
  57       "text/plain": [
  58        "<IPython.core.display.Markdown object>"
  59       ]
  60      },
  61      "metadata": {},
  62      "output_type": "display_data"
  63     }
  64    ],
  65    "source": [
  66     "from IPython.display import display, Markdown\n",
  67     "display(Markdown('IsothermalPage.md'))"
  68    ]
  69   }
  70  ],
  71  "metadata": {
  72   "kernelspec": {
  73    "display_name": "Python 2",
  74    "language": "python",
  75    "name": "python2"
  76   },
  77   "language_info": {
  78    "codemirror_mode": {
  79     "name": "ipython",
  80     "version": 2
  81    },
  82    "file_extension": ".py",
  83    "mimetype": "text/x-python",
  84    "name": "python",
  85    "nbconvert_exporter": "python",
  86    "pygments_lexer": "ipython2",
  87    "version": "2.7.12"
  88   }
  89  },
  90  "nbformat": 4,
  91  "nbformat_minor": 2
  92 }