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   1 The Navier-Stokes equations
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   3 The model consists of the following three balance laws for the mass, the momentum and the energy:
   4
   5 $$
   6 \left\{\begin{array}{cclclcc}
   7 \frac{\partial \phi\rho}{\partial t}&+&\nabla\cdot\vec{\phi q} & & &= &0\\[1.5ex]
   8 \frac{\partial \phi\vec{q}}{\partial t}&+&\nabla\cdot\left(\phi\vec{q} \otimes \frac{\vec{q}}{\rho})+\phi\vec{\nabla} p \right) &-& \nu \nabla\cdot(\phi\vec{\nabla}\vec {u})&=&p\vec{\nabla\phi}+\phi\rho\vec{g}- (K_r+K_s\delta_s(x))\phi \rho||\vec{u}||\vec{u}\\[1.5ex]
   9 \frac{\partial(\phi\rho E)}{\partial t} &+&\nabla\cdot\left[\phi(\rho E + p) \frac{\vec{q}}{\rho}\right]&-&\lambda \nabla\cdot(\phi\vec{\nabla} T)&=&\Phi+\phi\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-(K_r+K_s\delta_s(x))\phi \rho||\vec{u}||^3
  10 \end{array}\right.,
  11 $$
  12
  13 where
  14 - $\rho$ is the density,
  15 - $\vec u$ the velocity,
  16 - $\vec q = \rho \vec u$ the momentum,
  17 - $p$ the pressure,
  18 - $\rho e$ the volumic internal energy,
  19 - $\rho E = \rho e + \frac{||\vec q||^2}{2 \rho}$ the volumic total energy,
  20 - $T$ the absolute temperature,
  21 - $\Phi(\vec x)$ the heat power received by the fluid  ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setHeatPowerField),
  22 - $\phi(\vec x)$ the volumic porosity field ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setPorosityField),
  23 - $\vec g$ the gravity vector ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setGravity)
  24 - $\nu$ the viscosity ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setViscosity),
  25 - $\lambda$ the thermal conductivity ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setConductivity),
  26 - $K_r$ the regular friction coefficient ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setDragCoeffs),
  27 - $K_s(\vec x)$ the singular friction function, $\delta_s(\vec x)$ the Dirac delta function with support on the set $s$ ([SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx)::setPressureLossField).
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  29 We close the Navier-Stokes system by the ideal gas law $p = (\gamma -1) \rho e$ for steam water and a stiffened gas law $p = (\gamma -1) \rho e -\gamma p_0$ for liquid water and a linearised internal energy law valid around the points $(P=1 bar, T=300K)$ or $(P=155 bars, T=618K)$ depending on the value of the enum \ref pressureEstimate.
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  31 For the sake of simplicity, for the moment we consider constant viscosity and conductivity, and neglect the contribution of viscous forces in the energy equation.
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  33 The constant parameters $\lambda, \nu,\vec g, K_r$ and the fields $\phi(\vec x),\: \Phi(\vec x),\: K_s(\vec x)$ can be set by the user.
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  36 The class : [SinglePhase](../../Models/inc/SinglePhase.hxx) implements the single phase model
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  38 \subpage ExampleSinglePhase "Here are C and Python example scripts using the single phase model "
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