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   1 /*!
   2 \page NSModelsPage The single phase model
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   4 [TOC]
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   6 \section NStokesEq The Navier-Stokes equations
   7 The model consists of the following three balance laws for the mass, the momentum and the energy:
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  11 \f{eqnarray*}
  12 \left\{\begin{array}{cclclcc}
  13 \frac{\partial \phi\rho}{\partial t}&+&\nabla\cdot\vec{\phi q} & & &= &0\\[1.5ex]
  14
  15 \frac{\partial \phi\vec{q}}{\partial t}&+&\nabla\cdot\left(\phi\vec{q} \otimes \frac{\vec{q}}{\rho})+\phi\vec{\nabla} p \right) &-& \nu \nabla\cdot(\phi\vec{\nabla}\vec {u})&=&p\vec{\nabla\phi}+\phi\rho\vec{g}- (K_r+K_s\delta_s(x))\phi \rho||\vec{u}||\vec{u}\\[1.5ex]
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  17 \frac{\partial(\phi\rho E)}{\partial t} &+&\nabla\cdot\left[\phi(\rho E + p) \frac{\vec{q}}{\rho}\right]&-&\lambda \nabla\cdot(\phi\vec{\nabla} T)&=&\Phi+\phi\rho\vec{g}\cdot\vec{u}-(K_r+K_s\delta_s(x))\phi \rho||\vec{u}||^3
  18 \end{array}\right.,
  19 \f}
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  22 where
  23 - \f$\rho\f$ is the density,
  24 - \f$\vec u\f$ the velocity,
  25 - \f$\vec q = \rho \vec u\f$ the momentum,
  26 - \f$p\f$ the pressure,
  27 - \f$\rho e\f$ the volumic internal energy,
  28 - \f$\rho E = \rho e + \frac{||\vec q||^2}{2 \rho}\f$ the volumic total energy,
  29 - \f$T\f$ the absolute temperature,
  30 - \f$\Phi(\vec x)\f$ the heat power received by the fluid  (\ref SingePhase::setHeatPowerField),
  31 - \f$\phi(\vec x)\f$ the volumic porosity field (\ref SingePhase::setPorosityField),
  32 - \f$\vec g\f$ the gravity vector (\ref SingePhase::setGravity)
  33 - \f$\nu\f$ the viscosity (\ref SingePhase::setViscosity),
  34 - \f$\lambda\f$ the thermal conductivity (\ref SingePhase::setConductivity),
  35 - \f$K_r\f$ the regular friction coefficient (\ref SingePhase::setDragCoeffs),
  36 - \f$K_s(\vec x)\f$ the singular friction function, \f$\delta_s(\vec x)\f$ the Dirac delta function with support on the set $s$ (\ref SingePhase::setPressureLossField).
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  38 We close the Navier-Stokes system by the ideal gas law \f$p = (\gamma -1) \rho e\f$ for steam water and a stiffened gas law \f$p = (\gamma -1) \rho e -\gamma p_0\f$ for liquid water and a linearised internal energy law valid around the points \f$(P=1 bar, T=300K)\f$ or \f$(P=155 bars, T=618K)\f$ depending on the value of the enum \ref pressureEstimate.
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  40 For the sake of simplicity, for the moment we consider constant viscosity and conductivity, and neglect the contribution of viscous forces in the energy equation.
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  42 The constant parameters \f$\lambda, \nu,\vec g, K_r\f$ and the fields \f$\phi(\vec x),\: \Phi(\vec x),\: K_s(\vec x)\f$ can be set by the user.
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  45 * The class : \ref SinglePhase implements the single phase model
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  47 * \subpage ExampleSinglePhase "Here are C and Python example scripts using the single phase model "
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